Equazioni differenziali di primo ordine

Consideriamo equazioni del primo ordine del tipo

dove è una funzione in più variabili, e la funzione è l'incognita.

Equazioni a variabili separabili

Si definisce equaziona a variabili separabili un'equazione del tipo:

con , funzioni continue in opportuni intervalli di . Se allora la funzione è una soluzione definita su tutto .


Tutte le altre soluzioni si ricavano mediante la formula:

che si ricava scrivendo:
e si integrano entrambi i membri.


Esercizio 4.1

Risolvere l'equazione a variabili separabili:

 

e è una soluzione per l'equazione su tutto .


Se

, allora è un generico numero reale positivo. Pongo
Prendendo ho scritto tutte le possibili soluzioni con un'unica scrittura, compresa quella costantemente nulla.

Equazioni del tipo y'(t) = f(at+by)

Considero un'equazione della forma:

Pongo .
ma
quindi
In questo modo ho ottenuto l'equazione
a variabili separabili e si risolve con il procedimento di prima.


Esercizio 4.2

Risolvere l'equazione:

 

Pongo .

e invertendo l'equazione:

Equazioni omogenee

Consideriamo equazioni della forma:

Pongo

Se considero per , e questo vale per ogni , per questo le equazioni di questo tipo si chiamano omogenee.


Pongo per , quindi .

ed eguagliando le due espressioni si ottiene:
che è di nuovo un'equazione a variabili separabili.


Esercizio 4.3

Risolvere l'equazione omogenea

 

In questo caso e ragionando come sopra ottengo:

ed eguagliando le due espressioni di :
Divido per :
Se è una soluzione dell'equazione:
e applicando il logaritmo ad ambo i membri ottengo:

Equazioni lineari

Un'equazione differenziale lineare è un'equazione della forma:

e le equazioni di questo tipo si risolvono con la formula:
Riscrivo l'equazione come:
Moltiplico entrambi i membri per una funzione in modo che
Se scelgo ottengo:
cioè al secondo membro ho la derivata di una funzione che dipende solo da . Eguagliando al secondo membro dell'equazione originaria ottengo:
e integrando entrambi i membri in ottengo


Esercizio 4.4

Risolvere l'equazione lineare:

 

Quest'equazione non è data in forma normale, ed è del tipo:

La scrivo in forma normale dividendo per :
e l'equazione di partenza è equivalente all'equazione in forma normale quando .
e la risolvo separatamente se o .
Moltiplico per .
Se è una soluzione di
allora è definita come
Si richiede che sia di classe su tutto . è di classe per definizione
Per avere la differenziabilità dev'essere:
e questo avviene se e solo se , quindi le soluzioni di
definite su tutto sono date da .

Equazioni di Bernoulli

Consideriamo un'equazione del tipo:

Se ho un'equazione lineare, che si riconduce al caso precedente, mentre per ho equazioni lineari omogenee.


Se pongo

Allora è sempre soluzione tranne quando .
e ho ottenuto nuovamente un'equazione lineare. Allora risolvo quindi l'equazione in e poi risalgo a .


Esercizio 4.5

Risolvere l'equazione di Bernoulli:

 

Quest'equazione non è data in forma normale ed è del tipo

Posso riscriverla in forma normale, quando :

Devo risolvere un'equazione lineare: moltiplico per .
e integrando ottengo:
Se è una soluzione dell'equazione , allora è definita come

Se , l'equazione originaria è soddisfatta se e quindi la soluzione si può ridefinire come:

ed è continua su tutto per ogni diversi da 0.


Verifichiamo se la soluzione è differenziabile su tutto e se bisogna imporre ipotesi su e .

e

Se , la definita anche in : per la derivata è definita per tutti i punti tali che , e quindi è definita per , perché se , non esiste nessun tale che che annulli il denominatore. Analogamente, se , la soluzione non è definita se .


Allora, la soluzione dell'equazione differenziale si riscrive come:


Esercizio 4.6

Calcolare le soluzioni dell'equazione

Servendosi del risultato, trovare tutte le soluzioni del sistema Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}y_1' = y_1 \\ y_2' = -y_1+2y_2 \\ y_3' = y_1+2y_3 \end{sistema}}

 


L'equazione

è lineare.
Considero ora la prima equazione del sistema:
Ora sostituisco l'espressione di nelle altre due equazioni del sistema:
ed è soluzione dell'equazione di partenza se pongo . Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{sistema}'): {\displaystyle \begin{sistema}y_2' = a*e^x+2y_2 \\y_3' = -a*e^x+2y_3 \end{sistema}} L'equazione
è un'equazione lineare, quindi:

Cerco .

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