Calcolo di derivate parziali e regola della catena

Esercizio 2.1

Calcolare le derivate parziali delle seguenti funzioni:

 
  1. Questa funzione è definita su , allora
    Siccome i ruoli di e sono uguali in questa funzione, si ottiene subito:
  2. Il dominio di questa funzione è .
  3. Se , allora si può considerare . Tenendo conto che
    , si ottiene:


Esercizio 2.2

Sia Errore del parser (funzione sconosciuta '\quadf'): {\displaystyle f:\mathbb R^2\to \mathbb R,\quadf(x,y)=\begin{cases}\dfrac{x^3y-y^3x}{x^2+y^2},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\0 ,&\text{se }(x,y)=(0,0).\end{cases}}

  1. Si verifichi che esistono le derivate parziali seconde e in ogni punto e che non sono continue in .
  2. Si calcolino e e si verifichi che .
 


è di classe in tutti i punti diversi da . Verifico se esistono le derivate parziali di in , applicando le definizioni di derivate parziali come limiti di rapporti incrementali.

Se :
Quindi calcolo le derivate parziali seconde nell'origine:
allora come richiesto.


Esercizio 2.3

Sia e sia . Supponiamo che sia differenziabile in , e supponiamo che . Determinare la direzione di in modo tale che sia massima.

 

Uso la formula

con angolo fra e , e versore di norma 1. Vogliamo trovare per cui il prodotto
è massimo, e quindi cerco tale che , e questa condizione è verificata se e solo se è parallelo al gradiente, cioè


Esercizio 2.4

Data

  1. determinare la direzione di massima pendenza nel punto .
  2. Determinare la direzione in cui la derivata direzionale
 


Direzione di massima pendenza: Se il gradiente non è nullo, posso applicare il risultato dell'esercizio precedente.

Allora e la direzione di massima pendenza per in è

Derivata direzionale nulla: Per un generico vettore scrivo la derivata

Cerco che soddisfa l'equazione:
se , e in questi casi l'equazione non è soddisfatta.


Allora si può supporre , e si ottiene:

Per ci sono due parametri per i quali la derivata direzionale si annulla e sono:


Esercizio 2.5

Scrivere lo sviluppo di Taylor centrato nell'origine per la seguente funzione:

 

allora lo sviluppo di taylor è:


Esercizio 2.6

Calcolare il seguente limite:

 

In questo caso sostituisco con il suo sviluppo di Taylor considerando come una funzione in una variabile della forma con .
Infatti
inoltre è continua, cioè
Unendo le disuguaglianze, dato esiste tale che implica , quindi .
Sviluppo il quadrato:
è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a , e ingloba anche , e anche , quindi rimane:
Il primo termine tende a 0 (lo verifico, ad esempio, passando alle coordinate polari) mentre il secondo addendo si può riscrivere come:
ed è il prodotto di quantità che tendono a 0, quindi tende a 0.


Esercizio 2.7

Sia , e sia . Sia

Calcolare il gradiente di sia usando la regola della catena, sia direttamente.

 

Possiamo calcolare direttamente le derivate parziali
Si ottiene lo stesso risultato usando la regola della catena, infatti:


Esercizio 2.8

Sia , definita come:

Sia una funzione continua e derivabile. Calcolare nel punto , sapendo che
, mentre ha modulo ed è parallelo alla retta di equazioni , con verso orientato sugli x crescenti.

 


Applico la regola della catena:

con vettore colonna di componenti
che si può riscrivere come:
ma siccome ha il verso dell'asse positivo delle x, allora .


Per il teorema del calcolo integrale, se

allora se è continua in , è derivabile in e segue che è la derivata di in . Allora, ponendo
calcoliamo
Allora
e moltiplicato per il vettore colonna ottengo:

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