Richiami teorici

  1. Considero una funzione di classe su tutto . si dice curva e l'immagine si chiama sostegno della curva.
  2. Supponiamo di avere una curva di componenti con allora si pone:
    e si definisce la lunghezza della curva come
    inoltre si definisce versore tangente alla curva nel punto la quantità
  3. Sia un aperto di tale che Allora si definisce integrale di rispetto alla lunghezza d'arco la quantità:
  4. Data una curva si definisce ascissa curvilinea la quantità
    e la curva
    è detta rappresentazione di in termini dell'ascissa curvilinea.


Esercizio 5.1

La cicloide è la curva descritta da un punto di una circonferenza di raggio quando la circonferenza rotola, senza strisciare, sull'asse delle . Una parametrizzazione della cicloide è data da

Si calcoli la lunghezza della cicloide.

 

Per poter calcolare occorre calcolare:

Quindi


Esercizio 5.2

La cardioide è la curva di sostegno Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle \{(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta):\ 0\leq\theta\leq 2\pi,\\rho=a(1+\cos\theta)\},} con parametro positivo fissato. Si disegni il sostegno e si calcoli la lunghezza della cardioide.

 


Osservazione 5.1

Data una curva in coordinate polari della forma:

si ricorda che
allora per scrivere le equazioni parametriche in coordinate cartesiane sostituiamo a e ottengo:
dove è il parametro della curva.

 



La curva data nell'esercizio è della forma , e si può riscrivere come:

Calcolo quindi :
Posso quindi calcolare la lunghezza della curva:


Esercizio 5.3

La catenaria (cioè la curva secondo cui si dispone una fune appesa a due punti estremi che sia lasciata pendere sotto il solo effetto del proprio peso) è il grafico del coseno iperbolico. Si consideri il seguente arco di catenaria

e se ne scriva la rappresentazione in termini dell'ascissa curvilinea.

 

La rappresentazione di in termini dell'ascissa curvilinea è data dalla formula:

dove .
Quindi:

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