Richiami teorici

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#Sia <math>D</math> un aperto di <math>\mathbb R^n</math> tale che <math>\alpha([a,b]) \subset D</math> Allora si definisce ''integrale di <math>f</math> rispetto alla lunghezza d'arco'' la quantità:<math display="block">\int_a^b f(\alpha(t)) \vert \alpha'(t) \vert \, dt.</math>
 
#Sia <math>D</math> un aperto di <math>\mathbb R^n</math> tale che <math>\alpha([a,b]) \subset D</math> Allora si definisce ''integrale di <math>f</math> rispetto alla lunghezza d'arco'' la quantità:<math display="block">\int_a^b f(\alpha(t)) \vert \alpha'(t) \vert \, dt.</math>
 
#Data una curva <math>\alpha \colon [a,b] \to \mathbb R^n</math> si definisce ''ascissa curvilinea'' la quantità<math display="block">s(t) = \int_a^t \vert \alpha'(\tau) \vert \, d\tau</math>e la curva<math display="block">\Gamma \colon (0,l(\gamma) \to \mathbb R^n \, t.c. \, \Gamma= \gamma \circ s^{-1}</math>è detta ''rappresentazione di <math>\gamma</math> in termini dell'ascissa curvilinea''.
 
#Data una curva <math>\alpha \colon [a,b] \to \mathbb R^n</math> si definisce ''ascissa curvilinea'' la quantità<math display="block">s(t) = \int_a^t \vert \alpha'(\tau) \vert \, d\tau</math>e la curva<math display="block">\Gamma \colon (0,l(\gamma) \to \mathbb R^n \, t.c. \, \Gamma= \gamma \circ s^{-1}</math>è detta ''rappresentazione di <math>\gamma</math> in termini dell'ascissa curvilinea''.
 
 
 
{{InizioEsercizio|titolo=|number=5.1|anchor=Esercizio5_1}}
 
La ''cicloide'' è la curva descritta da un punto di
 
una circonferenza di raggio <math>R</math> quando la circonferenza rotola, senza strisciare, sull'asse delle <math>x</math>. Una parametrizzazione della cicloide è data da
 
<math display="block">\gamma(t)=(R(t-\sin t),R(1-\cos t)),\quad t\in[0,2\pi].</math>
 
Si calcoli la lunghezza della cicloide.
 
{{FineEsercizio}}
 
 
Per poter calcolare <math>l(\gamma)</math> occorre calcolare:
 
<math display="block">\gamma'(t) = (R(1-\cos t), R \sin t)</math><math display="block">\vert \gamma'(t) \vert = \sqrt{(R(1-\cos t))^2+R^2 \sin^2 t} = \sqrt{2R^2-2R^2 \cos t}</math>
 
Quindi
 
<math display="block">l(\gamma) = R\int_0^{2\pi} \sqrt{2-2\cos t} \, dt</math><math display="block">L(\gamma) = \sqrt{2}R*\int_0^{2\pi} \sqrt{1-\cos t} \, dt</math><math display="block">L(\gamma) = 2R*\int_0^{2\pi} \sin (t/2) \, dt</math><math display="block">L(\gamma) = R*[-\cos (t/2)]_0^{2\pi}=</math><math display="block">L(\gamma) = R*2 = 2R</math>
 
 
 
{{InizioEsercizio|titolo= disegno|number=5.2|anchor=Esercizio5_2}}
 
La ''cardioide'' è la curva di sostegno
 
<math display="block">\{(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta):\ 0\leq\theta\leq 2\pi,\\rho=a(1+\cos\theta)\},</math>
 
con <math>a\in(0,+\infty)</math> parametro positivo fissato. Si disegni il
 
sostegno e si calcoli la lunghezza della cardioide.
 
{{FineEsercizio}}
 
 
 
 
{{InizioOsservazione|titolo=|number=5.1|anchor=Osservazione5_1}}
 
Data una curva in coordinate polari della forma:
 
<math display="block">\rho = \phi(\theta)</math>
 
si ricorda che
 
<math display="block">x = \rho \cos \theta, \, y = \rho \sin \theta</math>
 
allora per scrivere le equazioni parametriche in coordinate cartesiane sostituiamo a <math>\rho</math><math>\phi(\theta)</math> e ottengo:
 
<math display="block">x(\theta) = \phi(\theta) \cos \theta, \, y(\theta) = \phi(\theta) \sin \theta</math>
 
dove <math>\theta</math> è il parametro della curva.
 
{{FineOsservazione}}
 
 
 
 
 
La curva data nell'esercizio è della forma <math>\rho=\phi(\theta)</math>, e si può riscrivere come:
 
<math display="block">\{ (x(\theta),y(\theta), \, t.c. \, x=a(1+\cos \theta) \cos \theta, \, y=a*(1+\cos \theta)*\sin \theta\}</math><math display="block">=\{ (x(\theta),y(\theta), \, t.c. \, x=a(\cos \theta+\cos^2 \theta), \, y=a*(\sin \theta+1/2 \sin (2\theta))\}</math>
 
Calcolo quindi <math>x'(\theta), y'(\theta), \vert \gamma(\theta) \vert</math>:
 
<math display="block">x'(\theta) = a(-\sin \theta-2\cos \theta \sin \theta) = -a(\sin \theta+\sin(2\theta))</math><math display="block">y'(\theta) = a(\sin \theta+\cos(2\theta))</math><math display="block">\vert \gamma'(t) \vert = a\sqrt{(\sin \theta+\sin(2\theta))^2+(\cos \theta+\cos(2\theta))^2}</math><math display="block">\vert \gamma'(t) \vert = a\sqrt{\sin^2 (2\theta)+\sin^2 \theta+2 \sin (2\theta) \sin \theta+\cos^2 (2\theta)+ \cos^2 \theta+2 \cos (2\theta) \cos \theta}</math><math display="block">\vert \gamma'(t) \vert = a\sqrt{2+2 \sin (2\theta) \sin \theta+2 \cos (2\theta) \cos \theta}</math><math display="block">\vert \gamma'(t) \vert = a\sqrt{2}\sqrt{1+ \sin (2\theta) \sin \theta+ \cos (2\theta) \cos \theta}</math><math display="block">\vert \gamma'(t) \vert = a\sqrt{2}\sqrt{1+ \cos (2\theta-\theta)}</math><math display="block">\vert \gamma'(t) \vert = a\sqrt{2}\sqrt{1+ \cos \theta}</math>
 
Posso quindi calcolare la lunghezza della curva:
 
<math display="block">l(\gamma) = a\sqrt{2} \int_0^{2\pi} \sqrt{1+ \cos \theta} \, d\theta</math><math display="block">l(\gamma) = 2a \int_0^{2\pi} \cos (\theta/2) \, d\theta</math><math display="block">l(\gamma) = 2a [\sin (\theta/2)]_0^{2\pi}=</math><math display="block">l(\gamma) = 2a* 0 = 0</math>
 
 
 
{{InizioEsercizio|titolo=|number=5.3|anchor=Esercizio5_3}}
 
La ''catenaria'' (cioè la curva secondo cui si
 
dispone una fune appesa a due punti estremi  che sia lasciata pendere
 
sotto il solo effetto del proprio peso)
 
è il grafico del coseno
 
iperbolico. Si consideri il seguente arco di catenaria
 
<math display="block">\gamma(t)=(t,\cosh t),\quad t\in [0,1],</math>
 
e se ne scriva la rappresentazione in termini dell'ascissa curvilinea.
 
{{FineEsercizio}}
 
 
La rappresentazione di <math>\gamma</math> in termini dell'ascissa curvilinea è data dalla formula:
 
<math display="block">\Gamma = \gamma \circ s^{-1} (\sigma)</math>
 
dove <math>s(t) = \int_a^t \vert \gamma'(\tau) \vert \, d\tau</math>.
 
<math display="block">\gamma'(\tau) = (1,\sinh \tau)</math><math display="block">\vert \gamma'(\tau) \vert = \sqrt{1+\sinh^2 \tau} = \cosh \tau</math><math display="block">s(t) = \int_0^t \cosh \tau \, d\tau = \sinh t\sinh t</math><math display="block">s^{-1}(t) = t = \mathrm{sett}\sinh t = \log (s+\sqrt{s^2+1})</math>
 
Quindi:
 
<math display="block">\Gamma = \gamma \circ s^{-1}(\sigma) = (t,\cosh t)(s^{-1}(\sigma)) = (\log (\sigma+\sqrt{\sigma^2+1}), \sigma)</math>
 

Versione attuale delle 22:29, 11 set 2017

  1. Considero una funzione di classe su tutto . si dice curva e l'immagine si chiama sostegno della curva.
  2. Supponiamo di avere una curva di componenti con allora si pone:
    e si definisce la lunghezza della curva come
    inoltre si definisce versore tangente alla curva nel punto la quantità
  3. Sia un aperto di tale che Allora si definisce integrale di rispetto alla lunghezza d'arco la quantità:
  4. Data una curva si definisce ascissa curvilinea la quantità
    e la curva
    è detta rappresentazione di in termini dell'ascissa curvilinea.
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