Curve

Esercizio 5.1

La cicloide è la curva descritta da un punto di una circonferenza di raggio quando la circonferenza rotola, senza strisciare, sull'asse delle . Una parametrizzazione della cicloide è data da

Si calcoli la lunghezza della cicloide.

 

Per poter calcolare occorre calcolare:

Quindi


Esercizio 5.2

La cardioide è la curva di sostegno Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle \{(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta):\ 0\leq\theta\leq 2\pi,\\rho=a(1+\cos\theta)\},} con parametro positivo fissato. Si disegni il sostegno e si calcoli la lunghezza della cardioide.

 


Osservazione 5.1

Data una curva in coordinate polari della forma:

si ricorda che
allora per scrivere le equazioni parametriche in coordinate cartesiane sostituiamo a e ottengo:
dove è il parametro della curva.

 



La curva data nell'esercizio è della forma , e si può riscrivere come:

Calcolo quindi :
Posso quindi calcolare la lunghezza della curva:


Esercizio 5.3

La catenaria (cioè la curva secondo cui si dispone una fune appesa a due punti estremi che sia lasciata pendere sotto il solo effetto del proprio peso) è il grafico del coseno iperbolico. Si consideri il seguente arco di catenaria

e se ne scriva la rappresentazione in termini dell'ascissa curvilinea.

 

La rappresentazione di in termini dell'ascissa curvilinea è data dalla formula:

dove .
Quindi:

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