Le trasformazioni infinitesime

 
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Poiché <math>SO(1,3)_ c</math> è connesso, ha senso parlare di ''trasformazioni di Lorentz infinitesime'', ossia di trasformazioni "molto vicine" all'identità. Lo studio di esse è molto utile per capire la struttura del gruppo e per ricavare l'espressione delle trasformazioni finite.
{{DeleteMe}}Poiché <math>SO(1,3)_ c</math> è connesso, ha senso parlare di ''trasformazioni di Lorentz infinitesime'', ossia di trasformazioni "molto vicine" all'identità. Lo studio di esse è molto utile per capire la struttura del gruppo e per ricavare l'espressione delle trasformazioni finite.
 
  
 
Una trasformazione infinitesima sarà del tipo:
 
Una trasformazione infinitesima sarà del tipo:

Versione attuale delle 15:54, 19 nov 2018

Poiché è connesso, ha senso parlare di trasformazioni di Lorentz infinitesime, ossia di trasformazioni "molto vicine" all'identità. Lo studio di esse è molto utile per capire la struttura del gruppo e per ricavare l'espressione delle trasformazioni finite.

Una trasformazione infinitesima sarà del tipo:

con ; in notazione matriciale, . Vediamo dunque quali sono le proprietà che deve soddisfare affinché questa sia una trasformazione di Lorentz. Poiché , nei conti trascureremo tutti i termini non lineari in . Dunque, partendo dalla condizione di appartenenza al gruppo di Lorentz:

Se dunque definiamo , questa condizione è equivalente all'antisimmetria di : . Dunque, affinché una matrice rappresenti una trasformazione infinitesima è necessario che

sia antisimmetrica.

Sfruttando questo fatto possiamo dedurre la dimensione dello spazio delle matrici di Lorentz. Essa infatti è uguale alla dimensione dello spazio delle matrici antisimmetriche , che è 6. Di questi 6 parametri liberi, 3 corrispondono alle rotazioni tridimensionali e gli altri 3 ai boost lungo i tre assi. Il legame fra queste e è:

rotazioni
in questo caso ha entrambi gli indici spaziali, e , ove ha il significato di angolo di rotazione attorno all'asse
boost
in questo caso gli indici di sono uno temporale e uno spaziale, , ove è la velocità del boost lungo l'asse

Ora, come possiamo ricavare le trasformazioni finite da quelle infinitesime? Definendo:

allora vale la seguente

Proposizione

La matrice così costruita è una matrice del gruppo di Lorentz, cioè vale:

 


Dimostrazione

Volendo, la si può fare "brutalmente"; noi la facciamo in modo un po' più originale.

Definiamo , e . Vogliamo dunque dimostrare che . Innanzitutto si ha:

Inoltre:

e poiché[1]:

allora:

ove l'ultimo passaggio è dovuto al fatto che .

 


Si può verificare che, applicando questa procedura a casi particolari, ci si riconduce alle rotazioni e/o ai boost. Ad esempio, se è tale che e se , allora calcolando e si trova una rotazione di angolo attorno all'asse 3; partendo da , invece, si ricava un boost di velocità lungo l'asse 1.

  1. La prima uguaglianza la si verifica direttamente con la definizione di esponenziale di una matrice, mentre la seconda vale perché commuta con il proprio esponenziale, e anche questo lo si può verificare con la definizione stessa.
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