I tensori

 
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Cosa si intende per ''tensore''?
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Un ''tensore'' è una quantità che rispetto al gruppo di Poincaré si trasforma linearmente in maniera ben definita<ref>Matematicamente, un ''tensore'' forma una ''rappresentazione'' del gruppo di Poincaré, cioè una maniera di associare ad ogni elemento del gruppo una matrice.</ref>. Vediamo di capirlo meglio per esempi.  
 
Un ''tensore'' è una quantità che rispetto al gruppo di Poincaré si trasforma linearmente in maniera ben definita<ref>Matematicamente, un ''tensore'' forma una ''rappresentazione'' del gruppo di Poincaré, cioè una maniera di associare ad ogni elemento del gruppo una matrice.</ref>. Vediamo di capirlo meglio per esempi.  
  

Versione attuale delle 15:54, 19 nov 2018

Cosa si intende per tensore? Un tensore è una quantità che rispetto al gruppo di Poincaré si trasforma linearmente in maniera ben definita[1]. Vediamo di capirlo meglio per esempi.

Il più semplice tensore possibile è uno scalare: si tratta di una quantità rappresentata da un numero, chiamiamolo , che non trasforma fra sistemi di riferimento inerziali: . Esempi di scalari sono la massa o la carica di un corpo.

Il primo tipo di tensore non banale è il quadrivettore (controvariante), ossia una quantità che in un sistema di riferimento inerziale è rappresentata da quattro numeri, e si trasformano rispetto al gruppo di Poincaré tramite la seguente legge:

Se per esempio in si ha , allora in si avrà , ossia ; un esempio di quadrivettore è . Se si hanno due quadrivettori, e , è facile vedere che la quantità è uno scalare. Infatti:

Dati due quadrivettori, dunque, la loro contrazione è uno scalare. Definendo , allora la contrazione fra e si può scrivere ; ovviamente .

I quadrivettori del tipo sono detti quadrivettori covarianti; per capire come si trasformano sfruttiamo la legge di trasformazione dei quadrivettori controvarianti:

Generalizzando: un tensore di rango è un oggetto con indici "alti" e "bassi", che indichiamo con , che si trasforma per il gruppo di Poincaré secondo la legge:

Adesso, che operazioni si possono compiere fra i tensori?

Prodotto tensoriale
Dati un tensore di rango e uno di rango , il loro prodotto tensoriale è un tensore di rango che ha come componenti i prodotti algebrici delle componenti dei due tensori di partenza:

Contrazione degli indici
Dato un tensore di rango , contraendo dei suoi indici controvarianti con di quelli covarianti si ottiene un tensore di rango . Ad esempio partendo dal tensore , di rango e contraendo gli indici e si ottiene il tensore

che è di rango

Caratteristica importante dei tensori sono le loro proprietà di simmetria o antisimmetria. Un tensore si dice simmetrico se , mentre un tensore si dice antisimmetrico se , e analogamente per i tensori controvarianti. Da notare che nel caso di un tensore misto, come può essere , non ha alcun senso chiedersi se sia simmetrico o antisimmetrico; la condizione non è infatti invariante sotto trasformazioni di Lorentz:

Se un tensore è simmetrico o antisimmetrico, inoltre, tale è in qualunque sistema di riferimento inerziale (lo si verifica facilmente).

Le proprietà di simmetria si estendono facilmente a tensori di rango maggiore: un tensore si dice completamente simmetrico o completamente antisimmetrico se valgono le relative proprietà di simmetria o antisimmetria per lo scambio di una qualsiasi coppia di indici.

Dato un tensore , si definisce la sua parte simmetrica come

e la sua parte antisimmetrica come

Ovviamente, e sono rispettivamente simmetrici e antisimmetrici, anche se il tensore di partenza non lo era.

Altro fatto importante è che la contrazione di un tensore simmetrico con uno antisimmetrico vale zero. Supponiamo infatti che sia simmetrico e antisimmetrico. Allora:

cambiamo ora il nome degli indici (operazione lecita in quanto sommati, e dunque muti): e . Allora:

Per tensore invariante si intende un tensore che ha le stesse componenti in ogni sistema di riferimento. In altre parole, si dice invariante se . Vediamo alcuni esempi:

  • è un tensore invariante, infatti:

  • non è un tensore invariante, infatti:

Nota: se nei conti compare o abbiamo sbagliato da qualche parte, perché si tratta di oggetti non ben definiti.

  • Il tensore di Levi-Civita , che è un tensore completamente antisimmetrico con . Verifichiamo che è invariante:

Quest'ultimo oggetto è completamente antisimmetrico rispetto allo scambio di una qualsiasi coppia di indici; infatti, scambiando con :

Ma di un tensore completamente antisimmetrico a quattro dimensioni, a meno di multipli, ce n'è solo uno (fissata una "casella" del tensore, tutte le altre sono automaticamente determinate). Dunque:

È un fatto (in sostanza ne è la definizione) che . Lo si può "vedere" facilmente in due dimensioni:

e se poniamo ad esempio e allora, tenendo conto che e che , si ha

Dunque:

Ma come conseguenza del fatto che deve soddisfare la condizione del gruppo di Poincaré si ha[2] che , e quindi:

In realtà, quindi, è invariante rispetto a tutte le trasformazioni di Lorentz con , mentre cambia di segno per quelle con ; è per questo che la dicitura corretta per è quella di pseudotensore invariante.

Ora, esistono altri tensori invarianti diversi da quelli visti? Ossia, esistono tensori invarianti che non siano combinazioni lineari di e ? La risposta, contenuta in un teorema che noi non dimostriamo, è negativa: se è un generico tensore invariante, questo non può che essere una combinazione lineare di o di prodotti di , ossia:

  1. Matematicamente, un tensore forma una rappresentazione del gruppo di Poincaré, cioè una maniera di associare ad ogni elemento del gruppo una matrice.
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