I postulati della relatività ristretta e il formalismo covariante

 
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Come abbiamo appena visto, le equazioni di Maxwell non sono compatibili col principio di relatività galileiana; per risolvere il problema bisogna "estendere" le trasformazioni di Galileo, o meglio l'intera meccanica formulando la relatività ristretta.  
{{DeleteMe}}Come abbiamo appena visto, le equazioni di Maxwell non sono compatibili col principio di relatività galileiana; per risolvere il problema bisogna "estendere" le trasformazioni di Galileo, o meglio l'intera meccanica formulando la relatività ristretta.  
 
  
 
Quest'ultima si fonda su tre postulati:  
 
Quest'ultima si fonda su tre postulati:  

Versione attuale delle 15:53, 19 nov 2018

Come abbiamo appena visto, le equazioni di Maxwell non sono compatibili col principio di relatività galileiana; per risolvere il problema bisogna "estendere" le trasformazioni di Galileo, o meglio l'intera meccanica formulando la relatività ristretta.

Quest'ultima si fonda su tre postulati:

  1. Lo spazio è omogeneo e isotropo, il tempo omogeneo
  2. Le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali
  3. La velocità della luce è la stessa in tutti i sistemi di riferimento inerziali

Il primo postulato è condiviso con la meccanica classica. Il secondo solo in parte: stavolta sono TUTTE le leggi della fisica, elettromagnetismo compreso, a dover essere le stesse fra osservatori inerziali. L'ultimo postulato, invece, è esclusivo della relatività.

Definiamo dunque spaziotempo l'insieme di tutti gli eventi fisici; si tratta di uno spazio quadridimensionale, in quanto in un dato sistema di riferimento ad un evento sono associati quattro numeri: uno per la sua localizzazione temporale e gli altri tre per quella spaziale. Indichiamo questi quattro numeri con (con la convenzione che gli indici greci rappresentino numeri variabili fra 0 e 3) ove , o se si usano unità naturali (nelle quali ); si può anche scrivere (con la convenzione che gli indici latini rappresentino numeri variabili fra 1 e 3) o .

Definiamo poi intervallo fra due eventi infinitamente vicini e come:

ove è l'elemento -esimo (cioè quello sulla -esima riga e sulla -esima colonna) della matrice , detta metrica di Minkowski ("metrica" perché è una generalizzazione a quattro dimensioni del concetto di "distanza" fra due punti):

Da notare che il fatto che siano gli ultimi tre indici (quelli spaziali) ad avere il segno negativo è una pura convenzione: in letteratura si può anche trovare .

Per si intende l'elemento -esimo della matrice inversa di , e dunque:

ove è la delta di Kronecker. Numericamente, però, l'inversa di coincide con stessa.

Dato un evento, ogni sistema di riferimento inerziale associa ad esso una diversa quadrupletta . Vogliamo dunque capire quali siano le trasformazioni fra sistemi di riferimento inerziali. Non ripercorriamo tutto il ragionamento, perché lo abbiamo già visto in altri corsi. Si determina che, se e sono sono due sistemi di riferimento inerziali, la legge di trasformazione delle coordinate di un evento da a è del tipo:

con elemento -esimo[1] della matrice e elemento -esimo di un quadrivettore costante qualunque (che fisicamente rappresenta una traslazione spaziotemporale). Si tratta dunque di una trasformazione lineare. Inoltre, poiché dev'essere invariante per il terzo postulato della relatività, la matrice dovrà essere tale che:

È dunque quest'ultima la relazione che devono soddisfare le matrici , il cui insieme è detto gruppo di Lorentz.

Le relazioni con gli indici sono, ovviamente, relazioni componente per componente fra matrici. In notazione matriciale, ad esempio, la condizione di appartenenza al gruppo di Lorentz è:

Spesso si indica il gruppo di Lorentz col simbolo che indica il gruppo delle matrici ortogonali (in realtà le matrici del gruppo di Lorentz sono pseudo-ortogonali) con i segni sulla diagonale non tutti uguali (il primo 1 indica che il primo termine è positivo, e il 3 che gli altri sono negativi). Essendo ortogonali, le matrici del gruppo di Lorentz sono invertibili, e si ha:

In termini di indici, si ha:

L'insieme delle trasformazioni fra sistemi di rifermiento inerziali è però più ampio del gruppo di Lorentz, perché può contenere le traslazioni spaziotemporali. Quest'insieme di trasformazioni più ampio (cioè il gruppo di Lorentz con comprese le traslazioni spaziotemporali) è detto gruppo di Poincaré.

Ora, per il secondo postulato della relatività ristretta, se riuscissimo a scrivere una legge fisica in termini di tensori, questa sarebbe covariante a vista, ossia invariante in forma fra sistemi di riferimento inerziali. Cosa significa?

Supponiamo che in un sistema di riferimento inerziale una legge si esprima come . In un altro sistema di riferimento inerziale alla grandezza rappresentata da in sarà associata una quantità , e parimenti alla grandezza rappresentata in da sarà associata la quantità . Se è una legge covariante a vista, ciò significa che in si ha . Entrambi i membri dell'equazione, dunque, possono variare singolarmente, ma l'uguaglianza (o, più in generale, la relazione fra le grandezze) resta inalterata.

  1. Nota: l'indice di riga è sempre quello di sinistra, e l'indice di colonna è sempre quello di destra, indipendentemente dalla loro posizione alto/basso.
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