Convergenza in L^p

Possiamo definire in generale la convergenza in ${\mathcal {L}}^{p}$ ${\mathcal {L}}^{p}$ con $1\leq p<{+\infty }$ $1\leq p<{+\infty }$ :

X_{n}{\stackrel {{\mathcal {L}}^{p}}{\rightarrow }}X{\stackrel {def}{\iff }}E[|X_{n}-X|^{p}]\rightarrow 0

Ad esempio consideriamo

p=1

:

X_{n}{\stackrel {{\mathcal {L}}^{1}}{\rightarrow }}X\Rightarrow X_{n}{\stackrel {P}{\rightarrow }}X

Infatti, per la diseguaglianza di Markov,

P\{|X_{n}-X|>\epsilon \}\leq {\frac {1}{\epsilon }}E[|X_{n}-X|]\rightarrow 0

Lemma 11.2

Sia $(\alpha _{n})_{n\in {\mathbb {N} }}$ $(\alpha _{n})_{n\in {\mathbb {N} }}$ una successione in $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$ , convergente ad un valore $\alpha$ $\alpha$ . Allora

\left(1+{\frac {\alpha _{n}}{n}}\right)^{n}\rightarrow e^{\alpha }

Dimostrazione

Definiamo il logaritmo principale ad imitazione del logaritmo reale:

{\mathcal {L}}og(1+z)=z-{\frac {1}{2}}z^{2}+{\frac {1}{3}}z^{3}

Per $z\rightarrow 0$ $z\rightarrow 0$ , si vede che ${\mathcal {L}}og(1+z)\sim z$ ${\mathcal {L}}og(1+z)\sim z$ e

(1+z)=e^{{\mathcal {L}}og(1+z)}

Osserviamo che $\alpha _{n}\rightarrow \alpha \Rightarrow {\frac {\alpha _{n}}{n}}\rightarrow 0\Rightarrow |{\frac {a_{n}}{n}}|<1$ $\alpha _{n}\rightarrow \alpha \Rightarrow {\frac {\alpha _{n}}{n}}\rightarrow 0\Rightarrow |{\frac {a_{n}}{n}}|<1$ definitivamente.

Posto $z={\frac {\alpha _{n}}{n}}$ $z={\frac {\alpha _{n}}{n}}$ , otteniamo

1+{\frac {\alpha _{n}}{n}}=e^{{\mathcal {L}}og(1+{\frac {\alpha _{n}}{n}})}\Rightarrow \left(1+{\frac {\alpha _{n}}{n}}\right)^{n}=e^{n{\mathcal {L}}og(1+{\frac {\alpha _{n}}{n}})}

quindi

n{\mathcal {L}}og(1+{\frac {\alpha _{n}}{n}})\sim {\frac {\alpha _{n}}{n}}\rightarrow \alpha \Rightarrow e^{n{\mathcal {L}}og(1+{\frac {\alpha _{n}}{n}})}\rightarrow e^{\alpha }