Sistemi lineari su un calcolatore

Casi semplici

Vogliamo risolvere un sistema lineare con matrice quadrata di dimensione supposta non singolare, e .

  1. Se è una matrice diagonale, ci sono equazioni disaccoppiate, e, per i coefficienti della soluzione, vale la formula:
  2. Nel caso di una matrice triangolare inferiore , nell'equazione i-esima esplicito l'incognita :
    infatti risolvendo l'i-esima equazione, conosco già tutte le incognite precedenti, ricavate nelle equazioni sopra esplicitando le incognite precedenti (risoluzione forward).
  3. Nel caso in cui triangolare superiore, si applica lo stesso procedimento ma partendo dall'ultima incognita.
    (risoluzione backward)

Nota: le formule risolutive, e la divisione per è ben posta perché siccome , i coefficienti sulla diagonale di una matrice triangolare sono diversi da 0.

I metodi per la risoluzione di sistemi lineari si distinguono in

  1. metodi diretti (di fattorizzazione)
  2. metodi iterativi, usati per matrici di grosse dimensioni.

Metodi di fattorizzazione

Una matrice può essere scritta come prodotto , con facilmente invertibili, in modo che i sistemi

siano facilmente risolubili.


Siccome , sostituendo nel sistema originario ottengo

e ponendo ottengo
e lo risolvo. Una volta ottenuto , per trovare risolvo quindi

Fattorizzazioni classiche

Esistono tre possibili fattorizzazioni della matrice :

  1. fattorizzazione , con la richiesta che la diagonale principale di sia composta da 1, e dove è una matrice di permutazione.
  2. se è simmetrica definita positiva, si può considerare la fattorizzazione , con coniugata trasposta di , con la richiesta che gli elementi della diagonale principale siano positivi.
  3. , dove è una matrice unitaria () e è una triangolare superiore.

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