Sistemi lineari e errore inerente (condizionamento)

==Risultato di analisi a posteriori==
{{InizioTeorema|title=|number=2.4|anchor=Teorema2_4}}
Sia <math>A \boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}</math>, <math>A</math> non singolare, <math>\boldsymbol{b} \neq 0</math>, e <math>\bar \boldsymbol{x}</math> soluzione calcolata in aritmetica floating-point. Allora l'errore relativo su <math>\boldsymbol{x}</math> è<math display="block">\varepsilon_x \le K(A) \frac{\vert r \vert}{\vert \boldsymbol{b} \vert}</math>dove <math>r = r(\bar \boldsymbol{x}) = \boldsymbol{b}- A \bar \boldsymbol{x}</math> (residuo).
{{FineTeorema}}

Si considera il sistema lineare come un'equazione vettoriale di cui cerco la radice. Se chiamo <math>x_\ast</math> la soluzione esatta, <math>r(x_\ast)=0</math>.

Se il residuo è piccolo ma il <math>K(A)</math> è grande, allora la maggiorazione non dà informazioni importanti.{{InizioDimostrazione}}
<math display="block">r = \boldsymbol{b}-A \bar \boldsymbol{x}</math><math display="block">\boldsymbol{b} = A \boldsymbol{x} \, \longrightarrow \, r = A \boldsymbol{x}-A \bar \boldsymbol{x} = A(\boldsymbol{x}- \bar \boldsymbol{x})</math>ovvero <math>\boldsymbol{x}-\bar \boldsymbol{x} = A^{-1} r</math>. 

Passando alla norma
<math display="block">\vert \boldsymbol{x}- \bar \boldsymbol{x} \vert \le \vert A^{-1} \vert \vert r \vert</math><math display="block">\vert \boldsymbol{x} - \bar \boldsymbol{x} \vert \le K(A)*\frac{\vert r\vert}{\vert A \vert}</math>e siccome <math>\boldsymbol{b} = A \boldsymbol{x}</math><math display="block">\vert \boldsymbol{b}\vert \le \vert A \vert \vert \boldsymbol{x} \vert</math><math display="block">\frac{1}{\vert A \vert} \le \frac{ \vert \boldsymbol{x} \vert}{\vert \boldsymbol{b} \vert}</math>sostituendo<math display="block">\vert \boldsymbol{x}-\bar \boldsymbol{x} \vert \le K(A) \frac{\vert r \vert \vert \boldsymbol{x} \vert}{\vert \boldsymbol{b} \vert}</math>e dividendo ambo i membri della disuguaglianza per <math>\vert \boldsymbol{x} \vert</math><math display="block">E_r \le K(A) \frac{\vert r \vert}{\vert \boldsymbol{b} \vert}</math>cvd
{{FineDimostrazione}}