Norme di vetori e di matrici

Norma di vettori

Nella risoluzione di sistemi lineari si ha l'obiettivo di misurare quantità non scalari.


Definizione 2.1

Una norma vettoriale è una funzione da a tale che

  1. e
  2. (omogeneità)
  3. (disuguaglianza triangolare)
 


Esempio 2.1

Esempi di norme sono:

e gli intorni in queste tre norme sono rispettivamente un cerchio, un rombo e un quadrato.

 



Proprietà 1: la norma è una funzione uniformemente continua, cioè

A vettori vicini corrispondono norme vicine indipendentemente dagli ordini di grandezza.


Proprietà 2: Vale la proprietà di equivalenza topologica delle norme. Supponiamo di prendere due norme qualsiasi e , con fissato. Allora esistono con tali che

Allora, siccome tutte le norme sono equivalenti, si può scegliere la norma che dà meno errori.


Proprietà 3: per ogni , considerate le norme 1,2 e dell'esempio precedente, si ha:

e, unendo le due relazioni:

Norma matriciale

Definizione 2.2

Una norma matriciale è una funzione tale che

  1. e solo se è la matrice nulla
 



Proprietà 1,2: valgono l'uniforme continuità e l'equivalenza delle norme come conseguenze dei punti 1,2,3.


Esempio 2.2

E' necessario imporre anche la quarta proprietà. Infatti, data la matrice

si ha che è la matrice nulla, e quindi vale
.

 

Relazioni tra norme vettoriali e norme matriciali

Definizione 2.3

La norma è una norma matriciale compatibile con una certa norma vettoriale se

 


Definizione 2.4

Definiamo la norma matriciale indotta da una norma vettoriale fissata come

equivalentemente
.

 



Proprietà 3: Una norma vettoriale indotta è una norma matriciale compatibile.

Dimostrazione

Dim. Se , la definizione di norma matriciale compatibile è verificata. Se , si ha

cvd

 


Proprietà 4: La norma matriciale indotta è la più piccola tra le norme matriciali compatibili con la norma vettoriale considerata.

Dimostrazione

e per la compatibilità della norma :

cvd

 

Norme matriciali indotte dalle principali norme vettoriali

Proprietà 5:


Nell'espressione della norma matriciale indotta dalla norma 2, cioè dalla norma euclidea, rappresenta il raggio spettrale.


Definizione 2.5

Considero , allora

cioè il raggio spettrale è il massimo dei moduli degli autovalori della matrice.

 


Definizione 2.6

è la trasposta coniugata, cioè se ha elementi reali, si ha , mentre se , .

 



Proprietà 6: Per ogni valgono le seguenti disuguaglianze:


Osservazione 2.1

Se , allora , e

ma siccome per gli autovalori vale la relazione , moltiplicando per ottengo:
cioè gli autovalori di sono i quadrati degli autovalori di . Quindi

Se è hermitiana definita positiva, cioè , , allora gli autovalori sono positivi, e si ha

 



NB: Il raggio spettrale non è una norma matriciale, a meno che non mi limiti a sottoclassi di matrici.


Esistono infatti tali che


Esempio 2.3

Considerando

Allora si verifica che
mentre
e la disuguaglianza triangolare è violata.

 

Altre proprietà della norma matriciale indotta

Proprietà 7: per ogni norma matriciale indotta, vale che .

Dimostrazione

Dim. Consideriamo la relazione

cioè
vale per ogni autovalore, e quindi anche per quello che realizza il raggio spettrale, cioè

cvd

 

Numero di condizionamento

Definizione 2.7

Si dice numero di condizionamento di una matrice rispetto ad una fissata norma la quantità

 



Considero una funzione , tale che .

Valutando l'errore relativo
Moltiplico e divido per .
Siccome stiamo supponendo di risolvere il sistema
segue che
quindi
tenendo conto che la norma matriciale utilizzata è compatibile:
e ponendo ottengo

Proprietà del numero di condizionamento

Definizione 2.8

Il numero di condizionamento di una matrice , supposta non singolare, è . Si dice che è infinito se è singolare.

 


Lemma 2.1

Per ogni norma, .

 
Dimostrazione

Dim.

cvd

 

Condizionamento spettrale

Definizione 2.9

Definisco condizionamento spettrale la quantità (infatti con raggio spettrale).

 



è definita positiva, se è non singolare. Infatti .


Se è definita positiva, allora ha tutti autovalori reali positivi, e

dove i sono autovalori di .


Inoltre

Allora
e siccome e sno simili e hanno quindi gli stessi autovalori, allora


Allora, se è non singolare,

Se , allora

e se è anche definita positiva

Stime del numero di condizionamento

Considero una norma matriciale indotta. Vale la seguente proprietà: , allora


Determiniamo le matrici con numeri di condizionamento molto alti o molto bassi.


Esempio 2.4

[matrice di Hilbert] La matrice di Hilbert ha entrate della forma

Ad esempio, in dimensione 3
Nella tabella rappresento l'aumentare del numero di condizionamento al crescere di :

 


Definizione 2.10

Se si dice che la matrice è perfettamente condizionata.

 


Esempio 2.5

Tra le matrici per cui c'è la matrice identica.

Anche le matrici tali che
cioè tali che
sono perfettamente condizionate, infatti:

 


Osservazione 2.2

Vale la proprietà

ma la matrice non è singolare. il determinante non è una buona misura della singolarità della matrice.

 
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