Metodi del punto fisso

Riformulazione del problema

Data trovare tale che equivale a cercare tale che con funzione opportuna. Ad esempio, si può considerare

oppure
oppure
con continua e .

Esistenza di punti fissi

Teorema 4.3

Se mappa un intervallo in sé stesso, se , e se esiste un tale che , segue che:

  1. ha un unico punto fisso nell'intervallo ;
  2. tende ad per qualunque punto d'innesco
 

(Possiamo definire il tasso asintotico di convergenza come . La convergenza è globale nell'intervallo .)

Dimostrazione

ESISTENZA DEL PUNTO FISSO: Per ipotesi, è continua. Data , siccome , si ha e . Quindi è una funzione continua con segni opposti agli estremi, allora esiste tale che , cioè . UNICITÀ DEL PUNTO FISSO: Per assurdo, supponiamo che esistano tali che e , allora

Per l'ipotesi segue che
e ho un assurdo. CONVERGENZA DELLA SUCCESSIONE DELLE ITERATE: Per ogni , esiste un punto tale che
e passando al valore assoluto
e siccome , la quantità tende a 0 per , cioè , per ogni . VERIFICA DEL LIMITE: Per la formula :

 

Interpretazione geometrica dei metodi di punto fisso

Considero il metodo

Nel caso di convergenza, ci sono due situazioni possibili:

  1. Convergenza monotona: i punti si trovano sempre a sinistra o sempre a destra della radice;
  2. convergenza alternata: se si trova a sinistra della radice, si trova a destra e così via.


Considero il punto di intersezione di con la bisettrice, che è il punto fisso . Considero a sinistra di , e pongo . Per determinare traccio a partire da il segmento orizzontale che lo congiunge alla bisettrice, e poi risalgo sulla funzione, trovando e così via. Se e la funzione è crescente ho una successione monotona crescente, mentre è decrescente nell'altro caso.

Condizione sufficiente di convergenza locale

Teorema 4.4

Sia un punto fisso di , e supponiamo che sia di classe in un intorno del punto fisso. Allora esiste tale che , la successione converge e

 

Si sa che il esiste, ma non si sa come costruirlo.


Proposizione 4.1

Sia di classe in un opportuno intorno di , e supponiamo che con , mentre , allora il metodo di punto fisso ha ordine di convergenza , e

 

Osservazione sul metodo di Newton

Il metodo di Newton è un metodo di punto fisso, dove si pone:

quindi è della forma .


Se e quindi se è una radice semplice, allora per la proposizione sopra , e si ha

e vale 0 se valutato in .
e valutando in , tenendo conto che :
quindi

Se è una radice multipla di molteplicità , si può scrivere . Ripetendo i conti precedenti,

con
quindi
e quindi solo se , e quindi se è una radice semplice.


Nel caso di radici multiple, per recuperare l'ordine di convergenza, costruisco la funzione , per ripristinare la convergenza superlineare, infatti si ottiene:

e sostituendo il valore di trovato prima:

 PrecedenteSuccessivo