Metodi del punto fisso

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==Riformulazione del problema==
 
==Riformulazione del problema==
 
Data <math>f \colon (a,b) \to \mathbb R</math> trovare <math>\alpha</math> tale che <math>f(\alpha)=0</math> equivale a cercare <math>\alpha</math> tale che <math>\alpha=\phi(\alpha)</math> con <math>\phi</math> funzione opportuna.
 
Data <math>f \colon (a,b) \to \mathbb R</math> trovare <math>\alpha</math> tale che <math>f(\alpha)=0</math> equivale a cercare <math>\alpha</math> tale che <math>\alpha=\phi(\alpha)</math> con <math>\phi</math> funzione opportuna.
Ad esempio, si può considerare
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Ad esempio, si può considerare<math display="block">\phi = x+f(x)</math>oppure<math display="block">\phi(x) = x+\frac{f(x)}{h(x)}, \quad h(\alpha) \neq 0</math>oppure<math display="block">\phi(x) = x+F(f(x))</math>con <math>F</math> continua e <math>F(0)=0</math>.
<math display="block">\phi = x+f(x)</math>
 
oppure
 
<math display="block">\phi(x) = x+\frac{f(x)}{h(x)}, \quad h(\alpha) \neq 0</math>
 
oppure
 
<math display="block">\phi(x) = x+F(f(x))</math>
 
con <math>F</math> continua e <math>F(0)=0</math>.
 
  
 
==Esistenza di punti fissi==
 
==Esistenza di punti fissi==
{{InizioTeorema|titolo=|number=4.3|anchor=Teorema4_3}}
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{{InizioTeorema|title=|number=4.3|anchor=Teorema4_3}}
 
Se <math>\phi</math> mappa un intervallo <math>[a,b]</math> in sé stesso, se <math>\phi \in C^1([a,b])</math>, e se esiste un <math>K < 1</math> tale
 
Se <math>\phi</math> mappa un intervallo <math>[a,b]</math> in sé stesso, se <math>\phi \in C^1([a,b])</math>, e se esiste un <math>K < 1</math> tale
 
che <math>|\phi'(x)| \le K \forall x \in [a,b]</math>, segue che:
 
che <math>|\phi'(x)| \le K \forall x \in [a,b]</math>, segue che:
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{{InizioDimostrazione}}
 
{{InizioDimostrazione}}
 
ESISTENZA DEL PUNTO FISSO: Per ipotesi, <math>\phi \colon [a,b] \to [a,b]</math> è continua. Data <math>\psi(x) = \phi(x)-x \colon [a,b] \to [a,b]</math>, siccome <math>a<\phi(x)<b</math>, si ha <math>\psi(a) = \phi(a)-a \ge 0</math> e <math>\psi(b) = \phi(b)-b <0</math>. Quindi <math>\psi</math> è una funzione  continua con segni opposti agli estremi, allora esiste <math>\alpha \in[a,b]</math> tale che <math>\psi(\alpha)=\phi(\alpha)-\alpha=0</math>, cioè <math>\phi(\alpha)=\alpha</math>.  
 
ESISTENZA DEL PUNTO FISSO: Per ipotesi, <math>\phi \colon [a,b] \to [a,b]</math> è continua. Data <math>\psi(x) = \phi(x)-x \colon [a,b] \to [a,b]</math>, siccome <math>a<\phi(x)<b</math>, si ha <math>\psi(a) = \phi(a)-a \ge 0</math> e <math>\psi(b) = \phi(b)-b <0</math>. Quindi <math>\psi</math> è una funzione  continua con segni opposti agli estremi, allora esiste <math>\alpha \in[a,b]</math> tale che <math>\psi(\alpha)=\phi(\alpha)-\alpha=0</math>, cioè <math>\phi(\alpha)=\alpha</math>.  
UNICITÀ DEL PUNTO FISSO:  Per assurdo, supponiamo che esistano <math>\alpha_1, \alpha_2</math> tali che <math>\phi(\alpha_1)=\alpha_1</math> e <math>\phi(\alpha_2)=\alpha_2</math>, allora
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UNICITÀ DEL PUNTO FISSO:  Per assurdo, supponiamo che esistano <math>\alpha_1, \alpha_2</math> tali che <math>\phi(\alpha_1)=\alpha_1</math> e <math>\phi(\alpha_2)=\alpha_2</math>, allora<math display="block">|\alpha_2-\alpha_1| = |\phi(\alpha_2)-\phi(\alpha_1)| = \phi'(\eta)*(\alpha_2-\alpha_1), \quad \eta \in [\alpha_1, \alpha_2].</math>Per l'ipotesi <math>\phi'(x)<k</math> segue che<math display="block">|\alpha_2-\alpha_1| \le K*|\alpha_2-\alpha_1| < |\alpha_2-\alpha_1|</math>e ho un assurdo.
<math display="block">|\alpha_2-\alpha_1| = |\phi(\alpha_2)-\phi(\alpha_1)| = \phi'(\eta)*(\alpha_2-\alpha_1), \quad \eta \in [\alpha_1, \alpha_2].</math>
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Per l'ipotesi <math>\phi'(x)<k</math> segue che
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CONVERGENZA DELLA SUCCESSIONE DELLE ITERATE: Per ogni <math>k \ge 0</math>, esiste un punto <math>\eta_k \in [\alpha,x_k]</math> tale che<math display="block">x_{k+1}-\alpha = \phi(x_k)-\phi(\alpha) = \phi'(\eta_k)*(x_k-\alpha), \quad \alpha<\eta_k<x_k \quad \hbox{formula } \ast</math>e passando al valore assoluto<math display="block">|x_{k+1}-\alpha|  \le K*|x_k-\alpha| \le K^{k+1}*|x_0-\alpha|</math>e siccome <math>K \le 1</math>, la quantità tende a 0 per <math>k \to \infty</math>, cioè <math>\{ x_k \} \to \alpha</math>, per ogni <math>x_0 \in [a,b]</math>.
<math display="block">|\alpha_2-\alpha_1| \le K*|\alpha_2-\alpha_1| < |\alpha_2-\alpha_1|</math>
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e ho un assurdo.  
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VERIFICA DEL LIMITE: Per la formula <math>\ast</math>:<math display="block">\lim_{k \to \infty} \frac{x_{k+1}-\alpha}{x_k-\alpha} = \lim_{k \to \infty} \phi'(\eta_k) = \phi'(\alpha)</math>
CONVERGENZA DELLA SUCCESSIONE DELLE ITERATE: Per ogni <math>k \ge 0</math>, esiste un punto <math>\eta_k \in [\alpha,x_k]</math> tale che
 
<math display="block">x_{k+1}-\alpha = \phi(x_k)-\phi(\alpha) = \phi'(\eta_k)*(x_k-\alpha), \quad \alpha<\eta_k<x_k \quad \hbox{formula } \ast</math>
 
e passando al valore assoluto
 
<math display="block">|x_{k+1}-\alpha|  \le K*|x_k-\alpha| \le K^{k+1}*|x_0-\alpha|</math>
 
e siccome <math>K \le 1</math>, la quantità tende a 0 per <math>k \to \infty</math>, cioè <math>\{ x_k \} \to \alpha</math>, per ogni <math>x_0 \in [a,b]</math>.
 
VERIFICA DEL LIMITE: Per la formula <math>\ast</math>:
 
<math display="block">\lim_{k \to \infty} \frac{x_{k+1}-\alpha}{x_k-\alpha} = \lim_{k \to \infty} \phi'(\eta_k) = \phi'(\alpha)</math>
 
 
{{FineDimostrazione}}
 
{{FineDimostrazione}}
  
 
==Interpretazione geometrica dei metodi di punto fisso==
 
==Interpretazione geometrica dei metodi di punto fisso==
Considero il metodo
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Considero il metodo<math display="block">x_{k+1} = \phi(x_k)</math>Nel caso di convergenza, ci sono due situazioni possibili:
<math display="block">x_{k+1} = \phi(x_k)</math>
 
Nel caso di convergenza, ci sono due situazioni possibili:
 
  
 
#Convergenza monotona: i punti <math>x_k</math> si trovano sempre a sinistra o sempre a destra della radice;
 
#Convergenza monotona: i punti <math>x_k</math> si trovano sempre a sinistra o sempre a destra della radice;
 
#convergenza alternata: se <math>x_k</math> si trova a sinistra della radice, <math>x_{k+1}</math> si trova a destra e così via.
 
#convergenza alternata: se <math>x_k</math> si trova a sinistra della radice, <math>x_{k+1}</math> si trova a destra e così via.
 
  
 
Considero il punto di intersezione di <math>\phi</math> con la bisettrice, che è il punto fisso <math>\alpha</math>. Considero <math>x_0</math> a sinistra di <math>\alpha</math>, e pongo <math>\phi(x_0)=x_1</math>. Per determinare <math>x_2 = \phi(x_1)</math> traccio a partire da <math>x_1</math> il segmento orizzontale che lo congiunge alla bisettrice, e poi risalgo sulla funzione, trovando <math>x_2=\phi(x_1)</math> e così via. Se <math>x_0<\alpha</math> e la funzione è crescente ho una successione monotona crescente, mentre è decrescente nell'altro caso.
 
Considero il punto di intersezione di <math>\phi</math> con la bisettrice, che è il punto fisso <math>\alpha</math>. Considero <math>x_0</math> a sinistra di <math>\alpha</math>, e pongo <math>\phi(x_0)=x_1</math>. Per determinare <math>x_2 = \phi(x_1)</math> traccio a partire da <math>x_1</math> il segmento orizzontale che lo congiunge alla bisettrice, e poi risalgo sulla funzione, trovando <math>x_2=\phi(x_1)</math> e così via. Se <math>x_0<\alpha</math> e la funzione è crescente ho una successione monotona crescente, mentre è decrescente nell'altro caso.
  
 
==Condizione sufficiente di convergenza locale==
 
==Condizione sufficiente di convergenza locale==
{{InizioTeorema|titolo= teorema di Ostrosky|number=4.4|anchor=Teorema4_4}}
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{{InizioTeorema|title=teorema di Ostrosky|number=4.4|anchor=Teorema4_4}}
Sia <math>\alpha</math> un punto fisso di <math>\phi</math>, e supponiamo che <math>\phi</math> sia di classe <math>C^1</math> in un intorno del punto fisso. Allora esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>\forall x_0 t.c. |x_0-\alpha| <\delta</math>, la successione converge e <math display="block">\lim_{k \to \infty} x_k = \alpha.</math>
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Sia <math>\alpha</math> un punto fisso di <math>\phi</math>, e supponiamo che <math>\phi</math> sia di classe <math>C^1</math> in un intorno del punto fisso. Allora esiste <math>\delta>0</math> tale che <math>\forall x_0 t.c. |x_0-\alpha| <\delta</math>, la successione converge e<math display="block">\lim_{k \to \infty} x_k = \alpha.</math> {{FineTeorema}}
{{FineTeorema}}
 
 
 
Si sa che il <math>\delta</math> esiste, ma non si sa come costruirlo.
 
 
 
  
{{InizioProposizione|titolo=|number=4.1|anchor=Proposizione4_1}}
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Si sa che il <math>\delta</math> esiste, ma non si sa come costruirlo.{{InizioProposizione|title=|number=4.1|anchor=Proposizione4_1}}
Sia <math>\phi</math> di classe <math>C^{p+1}</math> in un opportuno intorno di <math>\alpha</math>, e supponiamo che <math>\phi^s(\alpha)=0</math> con <math>s=1,\dots,p</math>, mentre <math>\phi^{s+1}(\alpha) \neq 0</math>, allora il metodo di punto fisso ha ordine di convergenza <math>p+1</math>, e
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Sia <math>\phi</math> di classe <math>C^{p+1}</math> in un opportuno intorno di <math>\alpha</math>, e supponiamo che <math>\phi^s(\alpha)=0</math> con <math>s=1,\dots,p</math>, mentre <math>\phi^{s+1}(\alpha) \neq 0</math>, allora il metodo di punto fisso ha ordine di convergenza <math>p+1</math>, e<math display="block">\lim_{k \to \infty} \frac{x_{k+1}-\alpha}{(x_k-\alpha)^{p+1}} = \frac{\phi^{p+1}(\alpha)}{(p+1)!}</math>
<math display="block">\lim_{k \to \infty} \frac{x_{k+1}-\alpha}{(x_k-\alpha)^{p+1}} = \frac{\phi^{p+1}(\alpha)}{(p+1)!}</math>
 
 
{{FineProposizione}}
 
{{FineProposizione}}
  
 
==Osservazione sul metodo di Newton==
 
==Osservazione sul metodo di Newton==
Il metodo di Newton è un metodo di punto fisso, dove si pone:
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Il metodo di Newton è un metodo di punto fisso, dove si pone:<math display="block">x_{k+1} = x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}</math>quindi <math>\phi</math> è della forma <math>\phi(x) = x-\frac{f(x)}{h(x)}</math>.
<math display="block">x_{k+1} = x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}</math>
 
quindi <math>\phi</math> è della forma <math>\phi(x) = x-\frac{f(x)}{h(x)}</math>.
 
 
 
  
 
Se <math>f'(\alpha) \neq 0</math> e quindi se <math>\alpha</math> è una radice semplice, allora per la proposizione sopra <math>\gamma = 1/2! \phi''(\alpha)</math>, e si ha
 
Se <math>f'(\alpha) \neq 0</math> e quindi se <math>\alpha</math> è una radice semplice, allora per la proposizione sopra <math>\gamma = 1/2! \phi''(\alpha)</math>, e si ha
<math display="block">\phi'(x) = 1-\frac{f'(x)^2-f(x)*f''(x)}{f'(x)^2}</math><math display="block">\phi'(x) = 1-1+\frac{f(x)*f''(x)}{f'(x)^2} = \frac{f(x)*f''(x)}{f'(x)^2}</math>
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<math display="block">\phi'(x) = 1-\frac{f'(x)^2-f(x)*f''(x)}{f'(x)^2}</math><math display="block">\phi'(x) = 1-1+\frac{f(x)*f''(x)}{f'(x)^2} = \frac{f(x)*f''(x)}{f'(x)^2}</math>e vale 0 se valutato in <math>\alpha</math>.<math display="block">\phi''(x) = \frac{f'(x)^2*(f(x)*f^{(3)}(x)+f'(x)*f''(x))-2*f'(x)*f''(x)*f(x)*f''(x)}{f'(x)^4}</math>e valutando in <math>\alpha</math>, tenendo conto che <math>f(\alpha)=0</math>:<math display="block">\phi''(x) = \frac{f'(\alpha)^3*f''(\alpha)}{f'(\alpha)^4} = \frac{f''(\alpha)}{f'(\alpha)}</math>quindi<math display="block">\lim_{k \to \infty} \frac{x_{k+1}-\alpha}{(x_k-\alpha)^2} = 1/2 \frac{f''(\alpha)}{f'(\alpha)}</math>Se <math>\alpha</math> è una radice multipla di molteplicità <math>s</math>, si può scrivere <math>f(x) = (x-\alpha)^s*\nu(x)</math>. Ripetendo i conti precedenti,<math display="block">\phi'(x) = \frac{f(x)*f''(x)}{f'(x)^2}</math><math display="block">f'(x) = s(x-\alpha)^{s-1}*\nu(x)+(x-\alpha)^s*\nu'(x) = (x-\alpha)^{s-1}*[s*\nu(x)+(x-\alpha)*\nu'(x)]</math><math display="block">f''(x) = (x-\alpha)^{s-1}*[s*\nu'(x)++(-\alpha)*\nu'(x)+(x-\alpha)*\nu''(x)]+(s-1)*(x-\alpha)^{s-2}*[s*\nu(x)+(x-\alpha)*\nu'(x)]</math><math display="block">f''(x) = (x-\alpha)^{s-2}*[(x-\alpha)*[s*\nu'(x)-\alpha*\nu'(x)+(x-\alpha)*\nu''(x)+(s-1)*[s*\nu(x)+(x-\alpha)*\nu'(x)]]</math><math display="block">f''(x) = (x-\alpha)^{s-2}*[(x-\alpha)*[(s-\alpha)*\nu'(x)+(x-\alpha)*\nu''(x)+(s-1)*s*\nu(x)+(s-1)(x-\alpha)*\nu'(x)]]</math><math display="block">\phi''(x) = \frac{(x-\alpha)^s*\nu(x)*(x-\alpha)^{s-2}*\theta}{((x-\alpha)^{s-1})^2*\eta^2} = \frac{\theta}{\eta^2}</math>con<math display="block">\eta = s*\nu(x)+(x-\alpha)*\nu'(x)</math><math display="block">\eta(\alpha) = s*\nu(\alpha)</math><math display="block">\theta = [(x-\alpha)*[(s-\alpha)*\nu'(x)+(x-\alpha)*\nu''(x)+(s-1)*s*\nu(x)+(s-1)(x-\alpha)*\nu'(x)]]</math><math display="block">\theta(\alpha) = (s-1)*s*\nu(\alpha)</math>quindi<math display="block">\phi''(\alpha) = \frac{\theta(\alpha)}{\eta^2(\alpha)} = \frac{(s-1)s*\nu(\alpha)}{s^2*\nu^2(\alpha)}</math><math display="block">= (s-1)/s*\nu(\alpha)</math>e quindi <math>f'(\alpha)=0</math>  solo se <math>s=1</math>, e quindi se <math>\alpha</math> è una radice semplice.<br>
e vale 0 se valutato in <math>\alpha</math>.
+
Nel caso di radici multiple, per recuperare l'ordine di convergenza, costruisco la funzione <math>\phi(x) = x-s \frac{f(x)}{f'(x)}</math>, per ripristinare la convergenza superlineare, infatti si ottiene:<math display="block">\phi'(\alpha) = 1-s+s \frac{f(\alpha) f''(\alpha)}{f'(\alpha)^2}</math>e sostituendo il valore di <math>\phi'(\alpha)=(s-1)/s</math> trovato prima:<math display="block">\phi''(\alpha) = 1-s+s*\phi'(\alpha) = 1-s+s(s-1)/s =0.</math>
<math display="block">\phi''(x) = \frac{f'(x)^2*(f(x)*f^{(3)}(x)+f'(x)*f''(x))-2*f'(x)*f''(x)*f(x)*f''(x)}{f'(x)^4}</math>
 
e valutando in <math>\alpha</math>, tenendo conto che <math>f(\alpha)=0</math>:
 
<math display="block">\phi''(x) = \frac{f'(\alpha)^3*f''(\alpha)}{f'(\alpha)^4} = \frac{f''(\alpha)}{f'(\alpha)}</math>
 
quindi
 
<math display="block">\lim_{k \to \infty} \frac{x_{k+1}-\alpha}{(x_k-\alpha)^2} = 1/2 \frac{f''(\alpha)}{f'(\alpha)}</math>
 
 
 
Se <math>\alpha</math> è una radice multipla di molteplicità <math>s</math>, si può scrivere <math>f(x) = (x-\alpha)^s*\nu(x)</math>. Ripetendo i conti precedenti,
 
<math display="block">\phi'(x) = \frac{f(x)*f''(x)}{f'(x)^2}</math><math display="block">f'(x) = s(x-\alpha)^{s-1}*\nu(x)+(x-\alpha)^s*\nu'(x) = (x-\alpha)^{s-1}*[s*\nu(x)+(x-\alpha)*\nu'(x)]</math><math display="block">f''(x) = (x-\alpha)^{s-1}*[s*\nu'(x)++(-\alpha)*\nu'(x)+(x-\alpha)*\nu''(x)]+(s-1)*(x-\alpha)^{s-2}*[s*\nu(x)+(x-\alpha)*\nu'(x)]</math><math display="block">f''(x) = (x-\alpha)^{s-2}*[(x-\alpha)*[s*\nu'(x)-\alpha*\nu'(x)+(x-\alpha)*\nu''(x)+(s-1)*[s*\nu(x)+(x-\alpha)*\nu'(x)]]</math><math display="block">f''(x) = (x-\alpha)^{s-2}*[(x-\alpha)*[(s-\alpha)*\nu'(x)+(x-\alpha)*\nu''(x)+(s-1)*s*\nu(x)+(s-1)(x-\alpha)*\nu'(x)]]</math><math display="block">\phi''(x) = \frac{(x-\alpha)^s*\nu(x)*(x-\alpha)^{s-2}*\theta}{((x-\alpha)^{s-1})^2*\eta^2} = \frac{\theta}{\eta^2}</math>
 
con
 
<math display="block">\eta = s*\nu(x)+(x-\alpha)*\nu'(x)</math><math display="block">\eta(\alpha) = s*\nu(\alpha)</math><math display="block">\theta = [(x-\alpha)*[(s-\alpha)*\nu'(x)+(x-\alpha)*\nu''(x)+(s-1)*s*\nu(x)+(s-1)(x-\alpha)*\nu'(x)]]</math><math display="block">\theta(\alpha) = (s-1)*s*\nu(\alpha)</math>
 
quindi
 
<math display="block">\phi''(\alpha) = \frac{\theta(\alpha)}{\eta^2(\alpha)} = \frac{(s-1)s*\nu(\alpha)}{s^2*\nu^2(\alpha)}</math><math display="block">= (s-1)/s*\nu(\alpha)</math>
 
e quindi <math>f'(\alpha)=0</math>  solo se <math>s=1</math>, e quindi se <math>\alpha</math> è una radice semplice.
 
 
 
 
 
Nel caso di radici multiple, per recuperare l'ordine di convergenza, costruisco la funzione <math>\phi(x) = x-s \frac{f(x)}{f'(x)}</math>, per ripristinare la convergenza superlineare, infatti si ottiene:
 
<math display="block">\phi'(\alpha) = 1-s+s \frac{f(\alpha) f''(\alpha)}{f'(\alpha)^2}</math>
 
e sostituendo il valore di <math>\phi'(\alpha)=(s-1)/s</math> trovato prima:
 
<math display="block">\phi''(\alpha) = 1-s+s*\phi'(\alpha) = 1-s+s(s-1)/s =0.</math>
 

Versione attuale delle 15:15, 21 mag 2018

Riformulazione del problema[modifica | modifica wikitesto]

Data trovare tale che equivale a cercare tale che con funzione opportuna. Ad esempio, si può considerare

oppure
oppure
con continua e .

Esistenza di punti fissi[modifica | modifica wikitesto]

Teorema 4.3

Se mappa un intervallo in sé stesso, se , e se esiste un tale che , segue che:

  1. ha un unico punto fisso nell'intervallo ;
  2. tende ad per qualunque punto d'innesco
 

(Possiamo definire il tasso asintotico di convergenza come . La convergenza è globale nell'intervallo .)

Dimostrazione

ESISTENZA DEL PUNTO FISSO: Per ipotesi, è continua. Data , siccome , si ha e . Quindi è una funzione continua con segni opposti agli estremi, allora esiste tale che , cioè . UNICITÀ DEL PUNTO FISSO: Per assurdo, supponiamo che esistano tali che e , allora

Per l'ipotesi segue che
e ho un assurdo.

CONVERGENZA DELLA SUCCESSIONE DELLE ITERATE: Per ogni , esiste un punto tale che

e passando al valore assoluto
e siccome , la quantità tende a 0 per , cioè , per ogni .

VERIFICA DEL LIMITE: Per la formula :

 

Interpretazione geometrica dei metodi di punto fisso[modifica | modifica wikitesto]

Considero il metodo

Nel caso di convergenza, ci sono due situazioni possibili:

  1. Convergenza monotona: i punti si trovano sempre a sinistra o sempre a destra della radice;
  2. convergenza alternata: se si trova a sinistra della radice, si trova a destra e così via.

Considero il punto di intersezione di con la bisettrice, che è il punto fisso . Considero a sinistra di , e pongo . Per determinare traccio a partire da il segmento orizzontale che lo congiunge alla bisettrice, e poi risalgo sulla funzione, trovando e così via. Se e la funzione è crescente ho una successione monotona crescente, mentre è decrescente nell'altro caso.

Condizione sufficiente di convergenza locale[modifica | modifica wikitesto]

Teorema 4.4 (teorema di Ostrosky)
Sia un punto fisso di , e supponiamo che sia di classe in un intorno del punto fisso. Allora esiste tale che , la successione converge e
 
Si sa che il esiste, ma non si sa come costruirlo.
Proposizione 4.1

Sia di classe in un opportuno intorno di , e supponiamo che con , mentre , allora il metodo di punto fisso ha ordine di convergenza , e

 

Osservazione sul metodo di Newton[modifica | modifica wikitesto]

Il metodo di Newton è un metodo di punto fisso, dove si pone:

quindi è della forma .

Se e quindi se è una radice semplice, allora per la proposizione sopra , e si ha

e vale 0 se valutato in .
e valutando in , tenendo conto che :
quindi
Se è una radice multipla di molteplicità , si può scrivere . Ripetendo i conti precedenti,
con
quindi
e quindi solo se , e quindi se è una radice semplice.
Nel caso di radici multiple, per recuperare l'ordine di convergenza, costruisco la funzione , per ripristinare la convergenza superlineare, infatti si ottiene:
e sostituendo il valore di trovato prima:

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