Cenni teorici

Descrizione del problema

Si vuole trovare una soluzione del problema di Cauchy

con , .


Teorema 7.1

Supponiamo che sia , dove , sia , se , ed esiste tale che

per ogni . Allora esiste unica la soluzione e si ha dipendenza continua dai dati, cioè se chiamo la soluzione del problema
segue che

Inoltre si ha esistenza e unicità in grande della soluzione se e .

 

Riformulazione di problemi di ordine n

Un problema di Cauchy di ordine può essere ricondotto a un problema di Cauchy del primo ordine nel seguente modo.


Dato un problema del tipo

Introduco funzioni ausiliarie:
Posso ricondurmi a risolvere il seguente sistema con un problema di Cauchy del primo ordine:

Se è continua, il problema di Cauchy è equivalente all'equazione integrale

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