Analisi di stabilità lineare o assoluta stabilità

Nella pratica, , quindi la 0-stabilità non basta.

Considero il problema lineare:

con . La soluzione esatta è
ed è tale che
se .


Verifico la seguente definizione:

Definizione 7.7

Un metodo numerico è assolutamente stabile se

(quindi se la soluzione numerica si comporta come la soluzione esatta)

 


Definizione 7.8

Si definisce la regione di assoluta stabilità

 



Suppongo che esistano due costanti tali che , e pongo .


La regione di assoluta stabilità varia a seconda del metodo considerato, infatti:

  1. Considerando il metodo di Eulero-esplicito:
    se segue che
    e per la quantità tende a 0 se .Il metodo di eulero esplicito ha come condizione di assoluta stabilità .Nel piano di Argand-Gauss la regione di assoluta stabilità è un cerchio con raggio 1 e centro . deve stare nel cerchio, altrimenti asintoticamente la soluzione numerica non si comporta come la soluzione esatta.In la condizione diventa .
  2. Considerando invece il metodo di Eulero implicito:
    e ricorsivamente
    e impongo la condizione che implica .La regione di assoluta stabilità in questo caso è ciò che sta fuori dal cerchio di raggio 1 e centro 1.Quindi i metodi di Eulero implicito non hanno nessuna condizione sulla scelta del passo dovuti allo schema numerico.
  3. Se considero il metodo di Frank-Nicholson,
    segue che, se , si ha
    quindi
    e si ottiene la condizione

Trasformazione di sistemi lineari

Considero il problema di Cauchy

con . E' un sistema di equazioni differenziali con
Assumiamo che sia diagonalizzabile.


La soluzione esatta è

, e si richiede lo stesso comportamento per la soluzione numerica.


Allora si impone:

quindi, moltiplicando a sinistra per
si ha un sistema di equazioni differenziali lineari ma con diagonale, in modo da avere equazioni differenziali disaccoppiate della forma:
e considero il problema test su ciascuna delle equazioni. Scelgo come passo , che deve valere per tutte le equazioni, l'autovalore di modulo maggiore.

Problemi stiff

Supponiamo di avere un sistema di equazioni differenziali del tipo

con . Supponiamo che sia diagonalizzabile, e consideriamo il caso in cui le parti reali dei suoi autovalori siano negative. Allora la soluzione esatta è dlla forma
dove è La soluzione particolare della non omogenea.


Considerando un metodo numerico a una regione di assoluta stabilità limitata, allora ci sono necessariamente delle restrizioni sul passo di integrazione. Più piccola è la regione di assoluta stabilità, minore è il passo da scegliere, e la scelta del passo è dovuta alla soluzione transitoria. Il passo va scelto tanto più piccolo quanto più in fretta la soluzione tende a 0.


Chiamiamo due autovalori della matrice tali che valga la relazione:

Si definisce la stiffness ratio nel seguente modo:
e il problema è stiff se questa quantità è molto maggiore di 1.

Se , anche se non è molto grande, ho un problema stiff per definizione. I metodi utilizzati per risolverli sono i Runge-Kutta espliciti.

 Precedente