Algoritmi per la risoluzione

Metodi ad un passo

Dato il problema

suppongo di volerlo risolvere in .


Creo una successione di valori dove approssima e , e viene chiamato passo di discretizzazione.


Per calcolare conoscendo considero il rapporto incrementale

che deve essere approssimato. Per l'approssimazione si utilizza la derivata prima, che in questo caso è un dato del problema. Quindi si pone
ed esplicitando :

Metodo di Eulero esplicito

Ottengo quindi il seguente metodo detto metodo di Eulero esplicito:

con , e approssimazione della soluzione esatta all'istante .

Questo metodo è detto esplicito perché la quantità da calcolare, , non compare nel membro di destra.


Sappiamo che

e sostituendo alla funzione il polinomio interpolante di grado 0 in , cioè la retta ottengo il metodo di Eulero esplicito:

Generalizzazione del metodo

Considero la generalizzazione del metodo

e lo confronto con la corrispondente espressione nel continuo (soluzione esatta):
All'istante definisco il residuo . Ci si chiede di quanto la soluzione esatta non soddisfa lo schema numerico considerato.


è funzione del passo di discretizzazione, e si può scrivere

dove è detto errore di troncamento locale. è la differenza tra la soluzione e la soluzione che si ottiene considerando come il valore esatto .


Più precisamente

Definizione 7.1

Si definisce errore di troncamento locale (LTE) la quantità

 

Per dire che l'errore commesso tende a 0, non basta richiedere che , altrimenti si elimina la dipendenza del metodo da .

Consistenza

Definizione 7.2

Il metodo è consistente con il problema ai valori iniziali se vale che

con . Se per ogni istante la soluzione è tale che , allora il metodo è consistente di ordine.

 


La condizione di consistenza è la minima condizione che dev'essere soddisfatta affinché il metodo funzioni.


Considerando il metodo di Eulero esplicito:

e sviluppando con Taylor e tenendo conto che :
e in seguito a cancellazioni:
e il metodo di Eulero esplicito è consistente di ordine .


Si ricava anche

Convergenza nell'intervallo [t_0 T]

Per , l'insieme di valori tende a ricoprire l'intervallo in questione. Chiedo che converga alla soluzione esatta per ogni .


Definizione 7.3

Un metodo si dice convergente se per ogni problema ai valori iniziali tale che valga il teorema di esistenza e unicità, è verificata la seguente proprietà: per ogni ,

dove
Il problema è convergente di ordine se

 



Disegno un grafico con il tempo in ascissa e la condizione in ordinata. Tenendo conto che , segue che al diminuire del passo , sono necessari più passi per raggiungere un fissato istante di tempo . Non si può scegliere come condizione di convergenza

perché questo tiene conto solo della condizione iniziale e non dà importanza al fatto che dopo un fissato numero di passi, a differenti scelte di corrispondono istanti diversi. Bisogna quindi fissare , e fare contemporaneamente
Ho un metodo convergente se per ogni problema ai valori iniziali
per ogni successione generata a partire da .

Analisi di convergenza

Dato il metodo

Consideriamo l'errore all'istante , e definisco
dove è il valore che ottengo se all'istante prendo come dato il valore esatto , cioè
e rappresenta l'errore locale, di consistenza.


Posso sostituire i primi due addendi con l'errore di troncamento moltiplicato per , quindi

e sostituendo l'espressione di :
e siccome ,
Passando ai moduli
Pongo e tengo conto della lipschitzianità di , allora ottengo
e avendo trovato la relazione ricorsiva si prosegue fino al passo 0:
e siccome in conclusione si ha
Siccome in generale , si ha
Siccome si ha
Se , nel caso di Eulero esplicito si ha per la formula 1
quindi dove .


Allora segue che

per ogni .


La quantità tende a 0 per , con lo stesso ordine 1 dell'errore di troncamento locale.

Metodo di Eulero implicito

Il metodo di Eulero implicito è dato da

Considero l'errore di troncamento
e tenendo conto della definizione del problema di Cauchy:
e ho un ordine di consistenza .

Metodo dei trapezi

A destra ci sono due valutazioni di e l'unica incognita è .


Esercizio 7.1

Verificare, usando Taylor, che l'ordine di consistenza di questo metodo è 2.

 
Dimostrazione

L'errore di troncamento si definisce come

 


Considerando il metodo di Eulero implicito:

si ha un'equazione non lineare e può essere trattata in due modi:

  1. Definisco il metodo di punto fisso:
    Affinché il metodo converga si richiede che .In questo caso, con si ha:
    quindi la costante di Lipschitz influenza la scelta del passo di discretizzazione. Se la costante di Lipschitz è grande, bisogna scegliere un passo di discretizzazione piccolo per poter avere convergenza.
  2. Applico il metodo di Newton. Pongo e cerco lo zero di
    con il metodo
    con vettore d'innesco .
    Come test d'arresto si ha il test dell'incremento.
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