Calcolo di autovalori estremi

Osservazione 3.2

Gli autovalori di una matrice sono le radici del polinomio caratteristico, ma non è conveniente calcolarli in questo modo. Al contrario, a volte il problema del calcolo delle radici di un polinomio viene ricondotto al calcolo degli autovalori di una matrice. Infatti dato un polinomio di grado della forma Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle p_n = \lambda^n+a_{n-1} \lambda^{n-1}\+a_1 \lambda+a_0,} associo ad esso una particolare matrice della forma:

 

Condizionamento

Teorema 3.4

[teorema di Bauer-Flick] Sia una matrice in diagonalizzabile, della forma . Sia matrice di perturbazione e consideriamo , autovalore di . Allora

con la norma matriciale assoluta.

 


Una norma matriciale assoluta è tale che la norma di una matrice diagonale è

Le norme 1,2, infinito sono norme assolute.


Caso particolare: Supponiamo che sia hermitiana, diagonalizzata tramite matrici unitarie . Allora

Allora .


Se è hermitiana, il problema del calcolo di autovalori è ben condizionato.

Se non è hermitiana, allora il problema può essere ben condizionato o mal condizionato, e il condizionamento dipende dalla matrice .

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