Stabilità condizionamento e convergenza

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==Errore analitico==
 
==Errore analitico==
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Sia <math>I_x</math> il più piccolo intervallo che contiene i nodi di interpolazione, e suppongo che contenga anche il punto <math>x</math> in cui voglio valutare l'errore.  Supponiamo che <math>F \in C_{n+1}(I_x)</math>. Allora esiste <math>\xi \in I_x</math> tale che<math display="block">E_x = |f(x)-p_n(x)| = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}*w_{n+1}(x)</math>(analogia con la formula di Taylor, centrata però in tutti gli <math>x_i</math>)
 
Sia <math>I_x</math> il più piccolo intervallo che contiene i nodi di interpolazione, e suppongo che contenga anche il punto <math>x</math> in cui voglio valutare l'errore.  Supponiamo che <math>F \in C_{n+1}(I_x)</math>. Allora esiste <math>\xi \in I_x</math> tale che<math display="block">E_x = |f(x)-p_n(x)| = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}*w_{n+1}(x)</math>(analogia con la formula di Taylor, centrata però in tutti gli <math>x_i</math>)
 
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tale intervallo. Vale il seguente risultato:
 
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L'errore di interpolazione<math display="block">E_n(f,X) \le E_n^*(f)*(1+\Lambda_{n,X})</math>dove<math display="block">\Lambda = \vert \sum_{j=0}^n |L_{j,n}| \vert</math>dove <math>L_{j,n}</math> è il j-esimo polinomio di Lagrange di grado n.
 
L'errore di interpolazione<math display="block">E_n(f,X) \le E_n^*(f)*(1+\Lambda_{n,X})</math>dove<math display="block">\Lambda = \vert \sum_{j=0}^n |L_{j,n}| \vert</math>dove <math>L_{j,n}</math> è il j-esimo polinomio di Lagrange di grado n.
 
(<math>\Lambda</math> viene chiamata costante di Lebesgue)
 
(<math>\Lambda</math> viene chiamata costante di Lebesgue)
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==Nodi di Chebyshev==
 
==Nodi di Chebyshev==
 
Esiste una matrice <math>X^*</math> che minimizza la costante di Lebesgue <math>\Lambda_n(x)</math>, ma non ne ho la forma esplicita. Si
 
Esiste una matrice <math>X^*</math> che minimizza la costante di Lebesgue <math>\Lambda_n(x)</math>, ma non ne ho la forma esplicita. Si
considerano i nodi del polinomio di Chebyshev, che danno la migliore approssimazione di <math>X^*</math> a meno di termini di ordine inferiore.{{InizioDefinizione|titolo=|number=5.3|anchor=Definizione5_3}}
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considerano i nodi del polinomio di Chebyshev, che danno la migliore approssimazione di <math>X^*</math> a meno di termini di ordine inferiore.{{InizioDefinizione|title=|number=5.3|anchor=Definizione5_3}}
 
Chiamiamo ''polinomio di Chebyshev'' di grado <math>m</math>, <math>P_m(x)</math> il polinomio definito come
 
Chiamiamo ''polinomio di Chebyshev'' di grado <math>m</math>, <math>P_m(x)</math> il polinomio definito come
 
<math>\cos (m*\arccos x)</math>.
 
<math>\cos (m*\arccos x)</math>.
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<math>x \in [-1,1]</math>, considero <math>z = \alpha x+\beta</math>, impongo <math>a=-\alpha+\beta</math>, <math>b=\alpha+\beta</math>, e ricavo che <math>\alpha = (b-a)/2</math> e <math>\beta=(b+a)/2</math>,  quindi i nodi mappati su <math>(a,b)</math> sono <math>(b+a)/2+x_k (b-a)/2</math>.
 
<math>x \in [-1,1]</math>, considero <math>z = \alpha x+\beta</math>, impongo <math>a=-\alpha+\beta</math>, <math>b=\alpha+\beta</math>, e ricavo che <math>\alpha = (b-a)/2</math> e <math>\beta=(b+a)/2</math>,  quindi i nodi mappati su <math>(a,b)</math> sono <math>(b+a)/2+x_k (b-a)/2</math>.
 
In generale, per ogni scelta dei nodi di interpolazione, esiste una costante <math>c>0</math> tale che
 
In generale, per ogni scelta dei nodi di interpolazione, esiste una costante <math>c>0</math> tale che
<math>\Lambda_n(x) > 2/\pi \log (+1)-c</math>, e quindi <math>\lambda_n(x) \to \infty</math> per <math>n \to \infty</math>.{{InizioTeorema|titolo= teorema di Faber|number=5.6|anchor=Teorema5_6}}
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<math>\Lambda_n(x) > 2/\pi \log (+1)-c</math>, e quindi <math>\lambda_n(x) \to \infty</math> per <math>n \to \infty</math>.{{InizioTeorema|title=teorema di Faber|number=5.6|anchor=Teorema5_6}}
 
Data <math>X</math> matrice di interpolazione sull'intervallo <math>[a,b]</math>, esiste almeno una funzione <math>f</math> continua su <math>[a,b]</math> tale che
 
Data <math>X</math> matrice di interpolazione sull'intervallo <math>[a,b]</math>, esiste almeno una funzione <math>f</math> continua su <math>[a,b]</math> tale che
 
<math>P_n(X,f)</math> non converge uniformemente ad <math>f</math> per <math>n \to \infty</math>.
 
<math>P_n(X,f)</math> non converge uniformemente ad <math>f</math> per <math>n \to \infty</math>.

Versione attuale delle 14:48, 21 mag 2018

Errore analitico[modifica | modifica wikitesto]

Teorema 5.4

Sia il più piccolo intervallo che contiene i nodi di interpolazione, e suppongo che contenga anche il punto in cui voglio valutare l'errore. Supponiamo che . Allora esiste tale che

(analogia con la formula di Taylor, centrata però in tutti gli )

 
Dimostrazione

Se è un nodo di interpolazione, allora .

Altrimenti, supponiamo di considerare , . Introduco la funzione ausiliaria

di classe .

Osservo che:

  1. valutando in uno dei nodi di interpolazione , siccome e si ha:
    e .
  2. Valutando nel nodo si ha:
    quindi la funzione si annulla in nodi, gli e .

Per il teorema di Rolle: si annulla in punti, e si annulla in un punto .

e siccome per il teorema di Rolle, si ha

 

Rappresento usando le differenze divise. Chiamo l'errore dell'approssimazione di con . Sia il polinomio interpolante. Sia , considerato come nuovo nodo di interpolazione.

Scrivo il polinomio interpolante nei nodi , con . Aumento di 1 il grado del polinomio interpolante

Siccome per la formula di Newton, ricavo che
e se , segue che .

Convergenza del polinomio interpolante[modifica | modifica wikitesto]

Sia , allora possiamo definire la norma infinito di come . Voglio studiare l'errore di interpolazione per .

Introduco una matrice di interpolazione sull'intervallo , cioè definisco di dimensione infinita che contiene i nodi di interpolazione, è una matrice triangolare inferiore, che su ogni riga ha i nodi di interpolazione del polinomio che ha come grado l'indice della riga.

Fissati , chiamo .

Confronto con l'errore di migliore approssimazione , cioè dove è tale che per ogni polinomio di grado n.

non passa necessariamente dai nodi. Sappiamo per il teorema di Iston-Weierstrass che per .

Esiste una relazione tra errore di interpolazione e errore di miglior approssimazione.

Supponiamo di avere una funzione continua su , e una matrice di interpolazione su tale intervallo. Vale il seguente risultato:

Teorema 5.5

L'errore di interpolazione

dove
dove è il j-esimo polinomio di Lagrange di grado n. ( viene chiamata costante di Lebesgue)

 
Dimostrazione

Pongo , per ogni , considero

La differenza tra il polinomio di miglior approssimazione e la funzione può essere maggiorata con , quindi
Argomento di proiezione: , (infatti il polinomio interpolante di un polinomio è il polinomio stesso), e sostituendo:
Argomento di linearità: la differenza tra polinomi interpolanti di e è il polinomio interpolante della differenza , quindi
e scrivendo il polinomio interpolante in forma di Lagrange:
con la disuguaglianza triangolare
e maggiorando con che è il massimo sull'intervallo:
e portando fuori dalla sommatoria
dove è come definito sopra.

 

Nodi di Chebyshev[modifica | modifica wikitesto]

Esiste una matrice che minimizza la costante di Lebesgue , ma non ne ho la forma esplicita. Si

considerano i nodi del polinomio di Chebyshev, che danno la migliore approssimazione di a meno di termini di ordine inferiore.
Definizione 5.3

Chiamiamo polinomio di Chebyshev di grado , il polinomio definito come .

 

Pongo , allora , e devo risolvere , e questo è vero se

quindi gli zeri sono
Definisco
, sono tutti interni all'intervallo, e hanno la proprietà che si infittiscono verso gli estremi e sono più radi al centro.

, considero , impongo , , e ricavo che e , quindi i nodi mappati su sono . In generale, per ogni scelta dei nodi di interpolazione, esiste una costante tale che

, e quindi per .
Teorema 5.6 (teorema di Faber)

Data matrice di interpolazione sull'intervallo , esiste almeno una funzione continua su tale che non converge uniformemente ad per .

 

Questo significa che una matrice di interpolazione non va bene per tutte le funzioni.

Funzione di Runge[modifica | modifica wikitesto]

Considero la funzione di Runge:

L'interpolazione polinomiale di questa funzione con nodi equispaziati non dà buoni risultati. Invece con i nodi di Chebyshev si ottiene un risultato migliore.

Condizionamento[modifica | modifica wikitesto]

Supponiamo che siano le perturbazioni di , chiamo il polinomio interpolante rispetto ai valori perturbati. Vale che

e per la disuguagl-ianza triangolare
quindi la costante di Lebesgue può essere interpretata come numero di condizionamento e amplifica la perturbazione sui dati.

cresce all'aumentare di n, e vale il seguente risultato: se considero nodi equispaziati, e si ha una crescita esponenziale. Invece, considerando i nodi di Cevicev, la crescita è solo logaritmica.

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