Osservazioni introduttive

Introduzione del problema

Considero coppie di dati, , e fisso un modello di approssimazione, ho un set di funzioni per , che siano linearmente indipendenti.


Considero la combinazione lineare

che restituisce 0 se e solo se .


Problema: Devo determinare la funzione , tale che .


Si può anche avere già continua tale che , ma può essere conveniente approssimarla con polinomi.


Teorema 5.1

Data una funzione continua su , allora per ogni esiste e un polinomio tale che

 


Quindi, data una funzione continua, è una buona idea quella di usare polinomi per approssimarla.

Esistenza e unicità dell'interpolazione

Nella pratica, considero e considero tale che per (polinomio interpolante).


Teorema 5.2

Dati nodi a due a due disgiunti, allora esiste ed è unico il polinomio al più di grado tale che .

 
Dimostrazione

Scrivo

e impongo le condizioni di interpolazione:
e ho equazioni in incognite, equivalenti al sistema:
dove , , e è una matrice con la seguente struttura:
e una matrice di questo tipo è detta di Vandermonde.


Si dimostra che

e siccome i nodi sono a due a due distinti per ipotesi, il determinante è diverso da 0, ovvero esiste ed è unico il polinomio interpolante perché il sistema si può risolvere e tutti i coefficienti sono determinati.

 


Dimostrazione

Consideriamo la matrice di Vandermonde in cui al nodo sostituisco la generica variabile , quindi

Allora
è un polinomio nella variabile di grado per la formula di Laplace. Inoltre questo polinomio si anulla in perché se a sostituisco , trovo una matrice con due righe uguali che ha determinante nullo. Allora si avrà:
Valuto in 0.
Inoltre per definizione:
e sappiamo che
quindi
ed eguagliando le due espressioni di :
quindi per ricavo l'espressione:
IPOTESI INDUTTIVA: Allora
e ho dimostrato la formula .

 


Nota: Spesso la matrice di Vandermonde è malcondizionata, quindi nella pratica non si usa questo procedimento per ottenere i polinomi interpolanti.


Dimostrazione

L'obbiettivo è, come prima, quello di cercare un polinomio tale che (condizione di interpolazione).

Premettiamo che i polinomi interpolanti sono unici, infatti, supponiamo per assurdo che esistano due polinomi di grado interpolanti, cioè che hanno come radici gli , allora considero , di grado n, che ha zeri. Infatti allora è identicamente nullo e quindi .


Considero una combinazione lineare di un opportuno set di funzioni (polinomi di Lagrange):

dove (sono le ordinate degli ) e con polinomio di Lagrange.
Valutando in un qualsiasi nodo , segue che

  1. se , tutti i numeratori sono uguali ai denominatori e si ottiene
  2. se invece , segue che , quindi un numeratore si annulla, e .

In forma sintetica .


Calcolo in :

e ho verificato la condizione di interpolazione per ogni .

 
Successivo