Approssimazione dei minimi quadrati con funzioni continue

Descrizione del problema

Suppongo di avere una funzione continua su un certo intervallo (invece che un insieme di dati), e suppongo di considerare un set di funzioni che costituiscono un insieme di generatori indipendenti. Voglio determinare tali che

Considero il prodotto scalare pesato, tale che
dove viene chiamata peso.


Si dice funzione peso una funzione , e tale che . Il prodotto scalare induce una norma

Chiamo

Per ogni considero
e impongo
Ottengo il sistema delle equazioni normali
con
Come nel caso discreto, , e dimostriamo che è simmetrica e definita positiva.


Proposizione 5.2

Se è simmetrica definita positiva, allora esiste unica la soluzione del sistema

ed è un minimo.

 
Dimostrazione

La simmetria è ovvia per le proprietà del prodotto scalare

Dimostro che per ogni .
dove
e sostituendo le espressioni dei ottengo
se e solo se , cioè
e quindi se e solo se .


Si garantisce che l'unica soluzione del sistema lineare è un minimo.

 

Esempio sullo spazio dei polinomi

Considero come peso , e i generatori (spazio dei polinomi di grado n).

Si ottiene una matrice di Henkel, costante lungo le antidiagonali.


Nel caso in cui si ha e è la matrice di Hilbert.

E' un esempio di matrice malcondizionata.

Sistema di generatori ortogonali

Per evitare di avere sistemi con matrici mal condizionate, considero , in modo che sia una matrice diagonale.


Introduco famiglie di polinomi ortogoali rispetto a funzioni peso assegnate.

Caso 1 polinomi di Legendre

Questi polinomi sono ortogonali sull'intervallo con .

dove .


Segue che, siccome il sistema dei minimi quadrati ha una matrice diagonale, si ha

Il condizionamento spettrale di una matrice simmetrica e definita positiva è
e il condizionamento cresce in maniera lineare rispetto a .

Caso 2 polinomi di Chebyshev

Definisco i pesi

e
Cerco
e il condizionamento è indipendente dalla dimensione.

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