Formule di quadratura approssimate

Descrizione del problema

Data una funzione , si vuole calcolare

Siccome per ipotesi è continua, per il teorema fondamentale del calcolo esiste una primitiva tale che


Approssimo con

dove gli vengono chiamati nodi e i vengono chiamati pesi. E' quindi possibile calcolare gli integrali anche nel caso in cui si conoscono solo alcuni dati e non l'espressione della funzione.


Definizione 6.1

Si definisce errore analitico o resto la quantità .

 


Definizione 6.2

Si definisce grado di precisione di una formula di quadratura

con insieme dei polinomi di grado .

 


Si richiede che le costanti vengano sempre integrate esattamente, cioè , quindi impongo la proprieà di consistenza:

Se questa proprietà non è soddisfatta la formula non è un buon algoritmo per il calcolo degli integrali.

Formule di quadratura con interpolazione

Si pensa di approssimare con un polinomio di grado , usando le tecniche di interpolazione. Nella pratica si applicano le formule di quadratura in forma composta (integrazione in sottointervalli).

Si pone

dove l'integrale è il peso definito nella formula di quadratura .


Esistono due possibilità:

  1. sono nodi equispaziati (formule di Newton-Cove)
  2. sono nodi corrispondenti agli zeri di polinomi ortogonali (formule gaussiane)
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