Formule di quadratura approssimate

==Descrizione del problema==
Data una funzione <math>f \colon [a,b] \to \mathbb R</math>, si vuole calcolare<math display="block">I_f = \int_a^b f(x) \, dx</math>Siccome per ipotesi <math>f</math> è continua, per il teorema fondamentale del calcolo esiste una primitiva <math>F</math> tale che<math display="block">\int_a^b f(x) \, dx = F(b)-F(a)</math>Approssimo <math>I_f</math> con<math display="block">I_n(f) = \sum_{i=0}^n w_i*f(x_i) \quad \hbox{formula } \ast</math>dove gli <math>x_i</math> vengono chiamati ''nodi'' e i <math>w_i</math> vengono chiamati ''pesi''.
E' quindi possibile calcolare gli integrali anche nel caso in cui si conoscono solo alcuni dati e non l'espressione della funzione.

{{InizioDefinizione|title=|number=6.1|anchor=Definizione6_1}}
Si definisce ''errore analitico'' o ''resto'' la quantità <math>E_n(f) = I(f)-I_n(f)</math>.
{{FineDefinizione}}



{{InizioDefinizione|title=|number=6.2|anchor=Definizione6_2}}
Si definisce ''grado di precisione'' di una formula di quadratura<math display="block">\max \{k \in \mathbb Z \, t.c. \, I_n(f)=I(f), \, \forall f \in P_k \}</math>con <math>P_k</math> insieme dei polinomi di grado <math>k</math>.
{{FineDefinizione}}

Si richiede che le costanti vengano sempre integrate esattamente, cioè <math>I_n(1) = I(1)</math>, quindi impongo la ''proprietà di consistenza'':<math display="block">\sum_{i=0}^n w_i = \int_a^b 1 = b-a</math>Se questa proprietà non è soddisfatta la formula non è un buon algoritmo per il calcolo degli integrali.

==Formule di quadratura con interpolazione==
Si pensa di approssimare <math>f</math> con un polinomio di grado <math>n</math>, usando le tecniche di interpolazione. Nella pratica si applicano le formule di quadratura in forma
composta (integrazione in sottointervalli).

Si pone<math display="block">I_n(f) = \int_a^b \sum_{i=0}^n f(x_i)*l_i(x)</math><math display="block">= \sum_{i=0}^n f(x_i) \int_a^b L_i(x) \, dx</math>dove l'integrale è il peso <math>w_i</math> definito nella formula di quadratura <math>\ast</math>.

Esistono due possibilità:

#<math>x_i</math> sono nodi equispaziati (formule di Newton-Cove)
#<math>x_i</math> sono nodi corrispondenti agli zeri di polinomi ortogonali (formule gaussiane)