Tema d'esame del 23 giugno

Esercizio 8.23

Siano e partizionati nel modo seguente

Avendo supposto e non singolari,

  • dimostrare che la soluzione del sistema puo' essere

scritta nella forma con e ricondotta a quella di un sistema lineare della forma , con . Fornire l'epressione di .

  • Fissata

studiare la convergenza del metodo di Jacobi quando applicato al sistema

 

Risolvendo il sistema con la matrice a blocchi si ottiene:

Se la soluzione si può scrivere come con , il sistema si riduce a:
e soddisfa entrambe le equazioni se . Allora il sistema di partenza può essere ricondotto al sistema con , , .
Quando applico il metodo di Jacobi al sistema con come sopra, si ha
La matrice di iterazione del metodo di Jacobi è e quindi è della forma:
Ne calcolo gli autovalori: Ponendo :
Il metodo di Jacobi converge se l'autovalore di modulo massimo è minore di 1, quindi se
ma siccome per ipotesi si ha .


Esercizio 8.24

Si vuole risolvere l'equazione con il metodo di punto fisso

  • Determinare il massimo intervallo tale che per

ogni il metodo converge a , radice minore.

  • Determinare l'intervallo tale che e'

soddisfatta la condizione per ogni .

  • Determinare se il metodo permette la convergenza alla

seconda radice e in caso negativo indicare una riformulazione del metodo di punto fisso.

 


Determino le radici dell'equazione .

Osservo che, ponendo il metodo considerato si può riscrivre come:
è una parabola rivolta verso l'alto, che non interseca l'asse delle ascisse, e ha vertice . Osservo che l'intervallo in cui il metod converge alla radice è , infatti si ha:

  1. se , e ottengo una successione di iterate che converge a .
  2. se , ottengo una successione decrescente di iterate limitata dal punto fisso .
  3. se , , ottengo una successione crescente di iterate che diverge.


Osservo che

e se e solo se , , quindi è .


Per trovare un metodo che converge alla radice posso definire un metodo della forma

con in modo da ottenere
e
La funzione è concava tra e , quindi per si ha una successione di iterate crescente che converge a .


Esercizio 8.25

Fissati i nodi determinare i pesi tali che la formula di quadratura

abbia grado di precisione 2.

 


Si può osservare subito che la formula di quadratura

con grado di precisione almeno coincide con la formula di quadratura che sostituisce a il polinomio interpolante nei nodi . In questo caso, siccome i nodi sono equispaziati, si ottiene la formula di Simpson. I pesi si possono scrivere nella forma con indipendente da . Infatti i pesi sono gli integrali dei polinomi di Lagrange, ad esempio:
ma con il cambio di variabile si ha , quindi
e siccome , si ha per simmetria.

Un procedimento alternativo è quello di imporre le condizioni sul grado di precisione sull'intervallo , e dividendo per il passo di equispaziatura si trovano gli .


Esercizio 8.26

Calcolare, considerato il seguente sistema di numeri floating point

 
  1. quindi non è possibile eseguire la somma


Esercizio 8.27

Rappresentare , nell'insieme .

 

Invece, nel sistema , ottengo:
Valutando l'errore assoluto:
Quindi il teorema è verificato.


Esercizio 8.28

Considerare l'insieme : calcolare la somma nell'insieme, con

 

, quindi non è necessario farne il floating.

Si ha , mentre .


Esercizio 8.29

Dato

Elencare esplicitamente gli elementi di F.

 

Tabella

I numeri rappresentabili in questo sistema sono 33 (0, 16 negativi, 16 positivi). Rappresentiamo i numeri nella base 10 sulla retta reale. Il primo numero si rappresenta come


Rappresentazione sulla retta reale: i segmenti definiti sono del tipo , delimitati da: Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle 0 – 1/8 - 1/4 - 1/2 - 1 – 2} e in questi segmenti posizioniamo i numeri dell'insieme F. Ad esempio, sul segmento lo spacing vale

Nell'intervallo precedente lo spacing vale , invece in lo spacing è .

Dopo aver determinato in maniera esplicita gli elementi di F, rappresentandoli sull'asse reale, i numeri macchina sono equispaziati ma lo spacing dipende dall'intervallo scelto.


Esercizio 8.30

Considero la matrice


A=[1 0 0 1; -1 1 0 1; -1 -1 1 1; -1 -1 -1 1] con elemento massimo . Dimostrare che, se applico il metodo di eliminazione gaussiana, per costruire le matrici , l'elemento massimo in modulo di è cioè la relazione raggiunge il suo massimo con il segno di uguaglianza.

 

M_1=[1 0 0 0; 1 1 0 0; 1 0 1 0; 1 0 0 1]

A_2=[1 0 0 1; 0 1 0 2; 0 -1 1 2; 0 -1 -1 2]

M_2=[1 0 0 0; 0 1 0 0; 0 1 1 0; 0 1 0 1]

A_3=[1 0 0 1; 0 1 0 2; 0 0 1 4; 0 0 -1 4]

M_3=[1 0 0 0; 0 1 0 0; 0 0 1 0; 0 0 1 1]

A_4=[1 0 0 1; 0 1 0 2; 0 0 1 4; 0 0 0 8]

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