Esercizi sui metodi del punto fisso

Esercizio 8.8

Ricondurre approssimativamente la divisione a un'operazione di moltiplicazione, cioè scrivere come .

 


Poniamo . Sia , con

cioè il problema si riconduce a calcolare l'inverso di un numero.


Risolvere l'equazione equivale a trovare gli zeri della funzione . Sappiamo che quindi

e devo fare nuovamente una divisione, quindi questa soluzione non porta al risultato desiderato.


Consideriamo quindi la funzione (che deriva dall'equazione ). Tenendo presente che , applicando il metodo di Newton si ha:

e in questo caso ho solo moltiplicazioni.


Consideriamo quindi il metodo

dove con .

  1. ricerca dei punti fissi:L'equazione
    è risolta quando o .
  2. Studio dell'ordine di convergenza: è di classe , inoltre
    Allora in un intorno di il metodo converge. e , quindi il metodo ha ordine di convergenza 2.
  3. Studio della convergenza nei vari casi: Disegno la passante per e per (è una parabola rivolta verso il basso con vertice in ) e la bisettrice del primo e del terzo quadrante.;Caso 1:. Pongo , mi sposto sulla bisettrice per recuperare l'ascissa di e risalgo sulla funzione per determinare . Itero poi il procedimento. Siccome ottengo una successione monotona decrescente, e divergo a .;Caso 2:. e il metodo non itera.;Caso 3:. implica che
    e la successione è monotona crescente, e si ferma raggiunto il punto fisso .;Caso 4:. Qui la retta si trova sopra la parabola, e il metodo converge perché dopo la prima iterata si trova sulla parte di parabola con ordinata compresa tra e e ci si avvicina di nuovo al punto fisso.;Caso 5:, allora e non itero.;Caso 6:. Si ha divergenza, infatti e la successione è decrescente e diverge a .
  4. Analisi dell'errore e della velocità di convergenza:
    Al passo successivo
    e quindi per ogni k, la riduzione dell'errore è di tipo quadratico, e . Quindi

Questo risultato si può estendere al calcolo dell'inversa di una matrice, infatti, risolve.

quindi . Applico Newton a .


Esercizio 8.9

Dato il metodo del punto fisso

Analizzare convergenza e velocità di convergenza.

 
Punti fissi

e questo è l'unico punto fisso.

Ordine di convergenza

quindi il metodo converge se , cioè

quindi il metodo converge se .


In particolare, se , l'ordine di convergenza è 1.

Analisi dell'errore

e se l'errore si riduce.

Studio della convergenza nei vari casi
è una retta, che interseca la bisettrice del primo e terzo quadrante nel punto fisso .

Inoltre la retta interseca l'asse delle ascisse nel punto .


il comportamento del metodo dipende dal valore di :

  • se , la retta ha coefficiente angolare positivo e minore di quello della bisettrice, e si ha che il metodo converge per ogni scelta di , infatti, se si ha e la successione è monotona crescente e limitata da , invece se la successione è monotona decrescente e limitata.
  • Se , la retta ha coefficiente angolare negativo e minore di quello della bisettrice (). Per ogni , si ha la convergenza alternata.
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