Tema 11

{{InizioEsercizio|title=|number=9.42|anchor=Esercizio9_42}}
Sia data la funzione <math>g:\mathbb R \to \mathbb R</math> definita a tratti
<math display="block">g(x)=\begin{cases} x^{3/2}+x/2 &x\ge0 \\1/9-(x+1/3)^2 &x<0\end{cases}</math>
e il metodo di punto fisso
<math display="block">x_{k+1}=g(x_k)</math>
con <math>x_0</math> assegnato.

#Si studi graficamente la convergenza del metodo al variare del punto <math>x_0 \in \mathbb R</math> indicando, eventualmente, anche l'ordine di convergenza.
#Si calcoli il condizionamento <math>K(x)</math> della funzione <math>g</math> per i valori positivi di <math>x</math>. Si mostri che tale numero di condizionamento è compreso in un intervallo <math>[a,b]</math> indicandone i valori.
{{FineEsercizio}}


''Studio della funzione <math>g</math>'':

#Limiti: per <math>x \to +\infty</math>, <math>g \to +\infty</math>, mentre per <math>x \to -\infty</math>, <math>g \to -\infty</math>.
#Intersezioni con gli assi: La funzione passa per il punto <math>(0,0)</math> e si raccorda con continuità nell'origine.Per <math>x</math> positivi:<math display="block">x^{3/2}+x/2=0</math><math display="block">x*(x^{1/2}+1/2)=0</math><math display="block">x^{1/2}=-1/2, \, \hbox{non ha soluzione}</math>Per <math>x</math> negativi:<math display="block">1/9-(x+1/3)^2=0</math><math display="block">1/9-x^2-2/3 x-1/9=0</math><math display="block">x^2+2/3 x=0</math><math display="block">x=0, \, x=-2/3</math>quindi la funzione passa anche per il punto <math>(-2/3,0)</math>.
#Intersezioni con la bisettrice: <math>P_1=(0,0)</math> è un punto fisso.Per <math>x</math> positive<math display="block">x^{3/2}+x/2=x</math><math display="block">x^{3/2}-x/2=0</math><math display="block">x(x^{1/2}-1/2)=0</math><math display="block">x^{1/2}=1/2</math><math display="block">x = 1/4</math><math>P_2=(1/4,1/4)</math> è un altro punto fisso.Per <math>x</math> negative:<math display="block">-2/3x-x^2=x</math><math display="block">2/3x+x^2=-x</math><math display="block">5/3x+x^2=0</math><math display="block">x=0, \, x=-5/3</math>Ottengo anche il punto fisso <math>P_3=(-5/3,-5/3)</math>.
#Monotonia e concavità:Per <math>x</math> positive:<math display="block">f'(x) = 3/2*x^{1/2}+1/2>0</math><math display="block">3x^{1/2}>-1, \, \forall x \in \mathbb R</math>quindi la funzione è sempre crescente.<math display="block">f''(x) = 3/4*x^{-1/2} >0 \iff x>0</math>quindi la funzione è convessa per <math>x</math> positive.Per <math>x</math> negative:<math display="block">g = -x^2-2/3 x</math><math display="block">f'(x) = -2*(x+1/3)>0</math><math display="block">x+1/3 <0</math><math display="block">x<-1/3</math>Quindi la funzione è crescente per <math>x<-1/3</math>.<math display="block">g''= -2 <0</math>allora la funzione è sempre concava.


''Convergenza del metodo di punto fisso'':

#per <math>x_0<-5/3</math>, ho una successione di iterate decrescente e illimitata.
#per <math>-5/3<x_0<0</math>, la funzione converge a <math>x=0</math>.<math display="block">f'(x)=-2*(x+1/3), \, \longrightarrow \, f'(0)=-2/3<1</math>e il metodo ha ordine di convergenza 1, dopo un numero finito di passi si ha <math>0<x_k<1/4</math>, perché l'ordinata del vertice della parabola è minore dell'ordinata del punto fisso <math>x_k=1/3</math>.
#per <math>0<x_0<1/4</math> ho una successione decrescente di iterate che converge a <math>P_1=(0,0)</math>.<math display="block">g'(x) = 3/2*x^{1/2}+1/2, \, \longrightarrow \, g'(0)=1/2 \neq 0</math>quindi l'ordine di convergenza è 1.
#Per <math>x_0>1/4</math>, la successione di iterate diverge.


''Condizionamento di <math>g</math> per <math>x</math> positive'':
<math display="block">K(g) = \frac{x}{|f(x)|}*f'(x)</math><math display="block">K(g)= \frac{x}{x^{3/2}+x/2}*(3/2*x^{1/2}+1/2)</math><math display="block">K(g)= \frac{x(3/2*x^{1/2}+1/2)}{x^{3/2}+x/2}</math>
Semplificando per <math>x</math>:
<math display="block">K(g)= \frac{3/2*x^{1/2}+1/2}{x^{1/2}+1/2}</math><math display="block">K(g)= 1+\frac{1/2*x^{1/2}}{x^{1/2}+1/2}</math><math display="block">K'(g)(x) = \frac{(x^{1/2}+1/2)*1/4*x^{-1/2}-1/2*x^{1/2}*(1/2*x^{-1/2})}{(x^{1/2}+1/2)^2}</math><math display="block">K'(g)(x) \ge 0</math><math display="block">(x^{1/2}+1/2)*1/4*x^{-1/2}-1/2*x^{1/2}*(1/2*x^{-1/2}) \ge 0</math><math display="block">1/4 x+1/8*x^{-1/2}-1/4*x \ge 0</math><math display="block">x^{-1/2} \ge 0 \forall x >0</math>
quindi <math>K(g)</math> è sempre crescente.
<math display="block">\lim_{x \to 0} K(g) = \lim_{x \to 0} 1+\frac{1/2*x^{1/2}}{x^{1/2}+1/2}=1</math><math display="block">\lim_{x \to +\infty} 1+\frac{1/2*x^{1/2}}{x^{1/2}+1/2} =  3/2</math>
quindi <math>K(g) \in (1,3/2)</math>.


{{InizioEsercizio|title=|number=9.43|anchor=Esercizio9_43}}
Dato il sistema <math>A \boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}, \boldsymbol{b} \in \mathbb R^3</math> e
<math display="block">A= \begin{array}{ccc} 1 & 0 & a \\ 0 & a & 0 \\ a & 0 & 1 \end{array}</math><math>\alpha \neq 0</math>,

#calcolare <math>|A|_2</math> e traciarne il grafico al variare di <math>a</math>.
#indicare per quali valori di <math>a</math> il metodo di Jacobi è convergente.
#Indicare per quali valori di <math>a</math> il metodo di Gauss-Seidel è convergente.
#Calcolare la fattorizzazione <math>LU</math> della matrice <math>A</math> e le quantità <math>|L|_\infty</math> e <math>|U|_\infty</math> al variare di <math>a</math>.
{{FineEsercizio}}


''Calcolo della norma di <math>A</math>'':
<math display="block">\vert A \vert_2 = \rho(A^t A)^{1/2} = \sqrt{\max |\lambda(A^t A)|}</math>
In questo caso <math>A</math> è simmetrica, quindi <math>A^t A = A^2</math>, <math>\lambda(A^2)=(\lambda(A))^2</math>, quindi
<math display="block">\vert A \vert_2 = \max |\lambda(A)|</math><math display="block">A-\lambda I= \begin{array}{ccc}1-\lambda & 0 & a \\  0 & a-\lambda & 0 \\ a & 0 & 1-\lambda \end{array}</math><math display="block">p_\lambda = (1-\lambda)(1-\lambda)(a-\lambda)+a^2(\lambda-a)=0</math><math display="block">p_\lambda = (\lambda-a)*[-(1-\lambda)^2+a^2]=0</math><math display="block">p_\lambda = (\lambda-a)*[-1-\lambda^2+2\lambda+a^2]=0</math><math display="block">\lambda_1 = a</math><math display="block">-1-\lambda^2+2\lambda+a^2=0</math><math display="block">\lambda^2-2\lambda-a^2+1=0</math><math display="block">\lambda_{1,2} = \frac{-2\pm \sqrt{4-4(1-a^2)}}{2}</math><math display="block">\lambda_{1,2} = \frac{-2\pm \sqrt{4-4+4a^2}}{2}</math><math display="block">\lambda_{1,2} = \frac{-2\pm 2a}{2} = -1\pm a</math><math display="block">|A|_2 = \max |\lambda(A)|</math><math display="block">|-1-a|>|a| \, \iff |-1-a|<-a \vee |-1-a|>a</math>
<math display="block">|-1-a|<-a \, \longrightarrow \, a<-1-a<-a</math>
<math display="block">-1-a<-a \iff -1<0 \forall x</math>
<math display="block">a<-1-a \longrightarrow a<-1/2</math>
<math display="block">|-1-a|>a \longrightarrow -1-a<-a \vee -1-a>a</math>
<math display="block">-1-a>a \longrightarrow a<-1/2</math>
<math display="block"></math>
Quindi <math>|-1-a|>|a|</math> se <math>a<-1/2</math>.
<math display="block">|a-1|>|a|  \iff |a-1|<-a \vee |a-1|>a</math>
<math display="block">|a-1|<-a \longrightarrow a<a-1<-a</math>
<math display="block">a<a-1 \longrightarrow 0<-1 \hbox{non ha soluzioni}</math>
<math display="block">|a-1|>a  \iff a-1<-a \vee a-1>a</math>
<math display="block">a-1>a \hbox{ non ha soluzioni}</math>
<math display="block">a-1<-a \longrightarrow a<1/2</math>
<math display="block"></math>
quindi <math>|a|>|a-1|</math> per <math>a<1/2</math>.
In conclusione:
<math display="block">|A|_2 = \begin{cases} |a-1| &\iff a<-1/2 \\ |a| &\iff -1/2<a<1/2 \\ |-a-1|&\iff a>1/2 \end{cases}</math>

''Convergenza del metodo di Jacobi'':
<math display="block">A+D \lambda= \begin{array}{ccc}\lambda & 0 & a \\  0 & \lambda a & 0 \\ a & 0 & \lambda \end{array}</math><math display="block">p_\lambda = \lambda*\lambda^2*a-a(\lambda a^2)</math><math display="block">p_\lambda = a \lambda^3-a^2 \lambda=0</math><math display="block">\lambda_1=0, \, \lambda_2 = \pm \sqrt{a}</math>
quindi il metodo di Jacobi converge se <math>|a|<1</math>.


''Convergenza del metodo di Gauss-Seidel'':
<math display="block">A+\lambda (D+L)= \begin{array}{ccc}\lambda & 0 & a \\ 0 & a \lambda & 0 \\ a \lambda & 0 & \lambda \end{array}</math><math display="block">p_\lambda = \lambda*a \lambda^2-a^3 \lambda^2=0</math><math display="block">\lambda_{1,2} =0</math><math display="block">\lambda_3 = a^2</math>
quindi la condizione per la convergenza di Gauss-Seidel è ancora <math>|a|<1</math>.


''Eliminazione gaussiana'':


Passo 1:
<math display="block">M_1 = \begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -a & 0 & 1\end{array}</math><math display="block">A_1= \begin{array}{ccc}1 & 0 & a \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & 1-a^2 \end{array}</math>
Quindi <math>A_1=U</math>, mentre
<math display="block">L = \begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ a & 0 & 1\end{array}</math>
Quindi
<math display="block">|L|^{\infty} = \max \{1, 1+|a| \} = 1+|a|</math><math display="block">|U|^{\infty} =\max\{1+|a|,|a|,1+|a^2|\}</math><math display="block">|U|^{\infty} = \begin{cases}|a|+1&\iff a<-1 \vee a>1 \\ 1+|a^2| &\iff -1<a<1 \end{cases}</math>