Teoria dell'errore nella sua generalità

Calcolo del valore di una funzione

Le funzioni effettivamente calcolabili sono le funzioni razionali, cioè quelle che sono date da un numero finito di operazioni . Le funzioni non razionali vengono approssimate in qualche modo con funzioni razionali.


E' data una funzione , e voglio calcolarne il valore in .


Il calcolo che effettuo con il calcolatore è affetto da vari tipi di errore:

Errore inerente
è l'errore generato dall'errore di rappresentazione sui dati. E' connesso al

condizionamento, ed è una caratteristica della funzione da calcolare.

Errore algoritmico
e' generato dall'errore commesso nelle operazioni in aritmetica floating-point. E' combinazione lineare degli errori locali delle singole operazioni. E' connesso alla stabilità
Errore analitico o di approssimazione
è l'errore generato dall'approssimazione di non razionale con un'opportuna funzione razionale. E' connesso alla convergenza.

Funzioni razionali

Chiamo il valore in cui voglio calcolare la funzione, di cui considero il floating , è la funzione effettivamente calcolata. Valore da calcolare: , valore effettivamente calcolato: .


Supponiamo di avere , e funzione razionale tale che e .


Voglio frammentare l'errore (relativo) totale in diversi tipi di errori:

  1. errore inerente: . Si assume che sia calcolata esattamente, e si considera solo l'errore dipendente dalla rappresentazione dei dati.
  2. errore algoritmico: misura l'errore generato dall'uso di al posto di , calcolate nel floating di . La sua espressione è


Vale il seguente teorema:

Teorema 1.3

L'errore totale è uguale a , e al primo ordine è uguale a . Inoltre

con

 


Dim.

cvd

Caso generale funzione non razionale

Suppongo di avere , una funzione non razionale che viene approssimata con una funzione razionale, e è la funzione effettivamente calcolata.

si frammenta in:

  1. errore analitico: dipende dal fatto di usare al posto di , e ha espressione
  2. errore inerente:
  3. errore algoritmico:


Teorema 1.4

L'errore totale al primo ordine è dato da

con

 


Dim.

Al primo ordine

cvd Se e differiscono di un termine del secondo ordine, allora vale il risultato con il vero errore analitico.

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