Comportamento dell'errore algoritmico e dell'errore analitico

Data una funzione non razionale, l'errore totale al primo ordine è .


Se ho una funzione non razionale, si ha . Ci si aspetta che per crescente, l'errore analitico si riduca. Invece, per crescente, aumenta.


grafico: Supponiamo di avere un grafico con in ascissa e l'errore in ordinata. L'errore analitico è rappresentato da una curva che decresce, viceversa l'errore algoritmico è una curva crescente. Osservo che ho un valore per cui ho la situazione migliore possibile, cioè il polinomio è un'approssimazione sufficientemente buona della funzione, e l'errore algoritmico non è ancora troppo elevato (punto di bilanciamento). La curva complessiva dell'errore relativo (somma di errore algoritmico e analitico) ha una forma di V, raggiunge una cuspide () e poi risale. Infatti inizialmente, si aumenta per ridurre l'errore analitico, ma l'aumentare di provoca l'aumentare dell'errore algoritmico, e quindi non si riesce ad ottenere una riduzione soddisfacente dell'errore.



Esempio 1.8

Consideriamo l'esempio di approssimazione della derivata prima con il rapporto incrementale.

o con il rapporto incrementale centrato:

Gracico: rappresento sull'asse delle ascisse, e in ordinata l'errore relativo (trascuriamo l'errore inerente). Al decrescere di , l'errore algoritmico aumenta, e i risultati guadagnati riducendo non portano vantaggi. Considerando invece il rapporto incrementale centrato, si ha un miglioramento, ma anche in questo caso, al diminuire di , l'errore analitico diminuisce ma a partire da un certo punto l'errore algoritmico aumenta e deteriora il risultato.

 



Conclusione importante: Su un calcolatore, non vale la regola che più fine è l'approssimazione, più l'errore si riduce.

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