Successioni in uno spazio metrico qualsiasi

Notazione

L'ambito migliore per considerare le successioni sono gli spazi metrici.


Sia uno spazio metrico. Una successione è una funzione . Quando si parla di successioni, in generale si indica con , e la successione si indica con . sono gli infiniti elementi della successione definiti sugli interi.

Limite di una successione in uno spazio metrico

In uno spazio metrico si può stabilire se due punti sono vicini grazie al concetto di distanza.


Definizione 5.1

[IMPORTANTE] Diciamo che la successione converge ad un limite contenuto in se (dipendente da ) tale che segue che . Se succede tutto questo si scrive che .

 


Teorema 5.1

Se una successione ammette limite, questo è unico.

 


Questo teorema è una conseguenza immediata della disuguaglianza triangolare.


Dimostrazione

Supponiamo per assurdo che ammetta due limiti e con . Allora la distanza tra e è maggiore di 0. Sia .

Scelgo . Poichè la successione tende a , allora esiste tale che , allora .


Poichè la successione tende a , esiste un tale che per ogni segue che .


Sia . Se , devono essere verificate sia la prima che la seconda condizione, cioè tutti i punti devono stare sia nell'intorno di centro e raggio che nell'intorno di centro e raggio . I due intorni sono disgiunti, perchè la distanza tra i due centri è . Questo è assurdo: per i punti non possono essere in entrambi gli intorni.

 

Esempi

Esempio 5.1
  1. La successione di termine generale non converge. Vale 1 per gli pari e per gli dispari. Mostriamo che la successione non converge a un numero diverso da e che non converge a o a .#*Sia . Allora ha distanza da 1 e entrambe positive. Considero la piu' piccola tra le due distanze e la divido per 3. Sia quindi , e prendo . Allora se considero la sfera centrata in e di raggio , in essa non ci sono punti della successione.#*Se considero basta prendere e tutti i punti con pari hanno una distanza maggiore di da e non stanno in .#*Analogamente se , i punti con dispari hanno distanza maggiore di da e quindi non sono contenuti nell'intorno .Allora la successione non ammette limite.
  2. In la successione di termine generale è convergente. In particolare, mostriamo che .Fissato un , voglio dimostrare che sia minore di . Basta prendere . In questo modo, segue che e quindi .
 


Teorema 5.2

Sia uno spazio metrico, sia e sia punto di accumulazione per ( è un insieme infinito). Allora esiste almeno una successione con e .

 
Dimostrazione

Sia un punto di accumulazione. Bisogna costruire una successione di punti di che converga a . Se considero l'intorno di centro e raggio 1, esso deve contenere almeno un punto di diverso da , perchè è di accumulazione. Chiamo questo punto ed è il primo punto della successione che costruisco.


Analogamente nell'intorno di raggio dev'esserci almeno un punto di che chiamo .


Nell'intorno di raggio centrato nel punto , esiste un punto .


Ho costruito una successione tale che . Questa successione converge a (fissato basta scegliere ).

 

In questo teorema si uniscono le definizioni di punto di accumulazione e di limite di una successione.

Successione limitata

Definizione 5.2

Una successione si dice limitata se l'insieme dei punti è un insieme limitato.

 


Esempio 5.2
  • La successione è limitata, perchè tutti i numeri sono compresi tra 0 e 1.
  • La successione è limitata, perchè i punti dell'insieme sono compresi nell'intervallo .
 


Osservazione 5.1

Se una successione è convergente, allora è limitata. Infatti, se considero una sfera di raggio 1 centrata nel limite, tutti i termini della successione salvo un numero finito appartengono ad essa. L'unione tra la sfera e il numero finito di punti della successione che non vi appartengono è limitata.

 

Sottosuccessione di una successione data

Questo concetto può aiutare per descrivere meglio le successioni che non convergono ed anche a determinare il limite di successioni convergenti.


Definizione 5.3

Si consideri una successione e una successione di interi positivi con queste proprietà:  ; e . Allora costruisco un'altra successione , che si dice sottosuccessione di .

 


Esempio 5.3

La successione di termine generale non converge; posso considerare la sottosuccessione degli con pari, che è costantemente uguale a 1 e converge. Analogamente, la sottosuccessione con dispari è costantemente uguale a e converge. Le altre sottosuccessioni non convergono.

 


Osservazione 5.2

Se , allora per ogni sottosuccessione , .

 


Come abbiamo già visto può invece capitare che una successione non converge, e una sottosuccessione converge.


Esempio 5.4

Si consideri la successione dei razionali (i razionali sono numerabili e possono essere messi in corrispondenza biunivoca con ). Tale successione non converge, ma per ogni numero reale esiste una sottosuccessione che converge a .

 


Teorema 5.3

Sia uno spazio metrico, un insieme compatto, sia una successione di elementi di . Allora esiste sempre una sottosuccessione convergente ad un punto appartenente ad . (In altre parole, se i punti della successione sono tutti compresi in un compatto, allora c'e una sottosuccessione convergente a un punto che sta nel compatto.)

 
Dimostrazione

Se in c'è un valore ripetuto infinite volte, si può estrarre una sottosuccessione convergente che assume sempre quel valore. Altrimenti, avremo infiniti valori distinti che stanno nel compatto. Questi avranno almeno un punto di accumulazione nel compatto infatti un compatto è anche chiuso. Allora, per un teorema dimostrato precedentemente, è possibile estrarre una sottosuccessione che converge a .

 


Esempio 5.5

In ogni successione limitata e contenuta in un compatto ha una sottosuccessione convergente.

 
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