Limiti per successioni a valori reali

Successione a valori reali

Definisco la successione convergente a un punto su .


Definizione 5.4

Sia una successione con . Allora se e solo se

.

 



La scrittura è equivalente a .


Esempio 5.6
  • La successione di termine generale tende a 0 mantenendosi sopra 0.
  • La successione di termine generale tende a 0 mantenendosi sotto lo 0.
  • La successione di termine generale tende a 0 ma oscilla intorno a 0.
 


Definizione 5.5

Si dice che se

converge ad per eccesso.

 


Se tende a , allora tende anche ad , perchè essendo maggiore di è anche maggiore di .


Analogamente, detto in modo sintetico:

Definizione 5.6

converge ad per difetto se definitivamente e si scrive .

 


L'unico campo ordinato con la proprietà del sup è . Negli altri campi l'ordinamento o è compatibile con le operazioni, o non vale la proprietà del sup.

Successioni divergenti

E' utile introdurre un modo per descrivere successioni che assumono valori sempre maggiori o che assumono valori sempre minori.

Nota: e non sono punti di . Invece nella compattificazione di , , non rappresentano casi particolari.


Definizione 5.7

Data una successione scriviamo se

 


Esempio 5.7

Se considero la successione di termine generale , si ha che

 


Definizione 5.8

Analogamente si scrive che se definitivamente

 


Una successione che tende a o a ha una certa regolarità.

Se una successione tende a , anche ogni sottosuccessione va a .

Vale l'unicità del limite. Una successione non può tendere ad un limite e a contemporaneamente.

Teoremi

Teorema 5.4

[teorema di permanenza del segno] Se la successione tende ad , allora definitivamente . Se la successione tende ad , allora definitivamente . Se tende a 0, può essere sempre positiva, sempre negativa o cambiare di segno.

 
Dimostrazione

Sia . Allora . Sia . Allora

Sostituendo con ottengo

Ma , quindi . L'altro caso si tratta analogamente.

 


Osservazione 5.3

Dalla definizione segue che se , allora .

 


Teorema 5.5

[teorema del confronto in ] Siano tre successioni in . Sia inoltre .

  1. Se , , segue che (convergenza).
  2. Se , anche .
  3. Se , anche (divergenza)
 


Osservazione 5.4

Il Teorema è anche vero se la relazione vale definitivamente (per ).

 

Applicazione del teorema del confronto

Valgono le seguenti osservazioni:

  • Supponiamo di avere un angolo espresso in radianti.

Allora vale la relazione .

Dimostrazione

Se considero il settore circolare di ampiezza , la sua area vale .


Se considero il triangolo che ha per base il raggio della circonferenza goniometrica e per altezza , la sua area vale . Quest'area è piu' piccola di quella del settore circolare di ampiezza .


Sempre nel cerchio unitario trigonometrico si consideri il triangolo rettangolo di base e altezza , la sua area vale . Quest'area è piu' grande di quella del settore circolare che è .


In conclusione si ottiene la catena di disuguaglianze

Semplifico per 2

 
  • Per ogni vale la relazione , e vale l'uguale per .
  • Se , allora .
Dimostrazione

Se , anche , e passando al limite nella relazione

per il teorema del confronto ottengo . Infine, se , anche .

 
  • Se , .
Dimostrazione

Per l'osservazione precedente, per mostrare che basta mostrare che


Applicando la formula di prostaferesi ottengo:

e si ha
In definitiva
allora, se , per il teorema del confronto anche .

 

Limiti notevoli

Proposizione 5.1

Sia , allora

.

 
Dimostrazione

Per abbiamo dimostrato che , segue dunque

Allora per la seconda relazione fondamentale della trigonometria.


Dividendo per si ottiene . passando ai reciproci, le disuguaglianze si invertono, quindi si ha

La successione di termine generale è compresa tra due successioni: una è costante e uguale a 1, l'altra tende a 1 per . Segue che per il teorema del confronto.

 


Esempio 5.8

Da questa proposizione segue che:

Inoltre calcoliamo

Dalla formula di duplicazione ottengo che:
Quindi riscrivo il limite da calcolare come:
e spezzando la frazione nel prodotto di due fattori ottengo:
per teorema del limite del prodotto e per applicazione del limite notevole.


Quindi, se ,

 

Successioni monotone

Definizione 5.9

Una successione si dice monotona crescente se

Analogamente, una successione si dice monotona decrescente se

 


Teorema 5.6
  1. Ogni successione monotona ammette limite finito o infinito (non può oscillare).
  2. Se è monotona crescente, allora
    dove se la successione non è limitata superiormente
  3. Se è monotona decrescente, allora
    ove non è limitata inferiormente.


Forma sintetica: Ogni successione monotona ammette limite finito o infinito.

 


Dimostrazione

Dimostro il caso in cui è una successione monotona crescente e limitata. Sia . Supponiamo . Per definizione di estremo superiore,

Se , poichè la successione è monotona crescente si ha che da cui
Allora per definizione

Nota: Questa dimostrazione è possibile solo nel campo reale dove esistono e .

 


Vedremo che mediante i concetti di inf e sup si possono definire i limiti in .


Esempio 5.9

Considero una successione di termine generale , dove è un numero positivo della forma: è una successione crescente e limitata infatti mostriamo che .

Si ha che,

e .

Se fosse negativo le successioni sarebbe monotona decrescente, e tutto andrebbe allo stesso modo.

 
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