Il limite e

Monotonia della successione e_n = (1+1_n)^n

Considero la successione di termine generale . Scrivo esplicitamente i primi termini:

  • Per ;
  • Per ;
  • Per


Mostreremo che questa successione è monotona crescente, e che ammette limite (non diverge all'infinito): chiameremo il limite di questa successione.


Per mostrare che è crescente mostreremo che:

Si ha che
quindi
Aggiungo e tolgo 1 al numeratore della frazione tra parentesi quadra, per far comparire il quadrato di :
Sfrutto la disuguaglianza
Se pongo ottengo che
quindi
Svolgo i calcoli e ottengo che

Limite della successione e_n

Considero la successione di termine generale

Per ogni , è maggiore di .


Per , vale 4 mentre vale 2.


Con argomenti analoghi ai precedenti, si può dimostrare che è monotona decrescente (basta far vedere che ).


Quindi, siccome è monotona decrescente, e siccome , allora è limitata superiormente. Infatti ho:

Ogni è minore di

In particolare siccome , tutti gli sono minori di .

Osservo che e convergono allo stesso limite, infatti

cioè la differenza tra le due successioni tende a 0 per . Definisco come il limite a cui convergono queste due successioni.

Valgono le seguenti osservazioni:

  1. Anche tende ad .
  2. Se ho una successione di interi che tende a quando tende a , anche tende ad per .
  3. Se ho una successione che tende a per , allora
    Dimostrazione
La parte intera di un numero è sempre minore o uguale di e maggiore o uguale di , cioè, in simboli, .Cerco di ricondurmi a successioni di interi per poter applicare il punto precedente: osservo che
(ho aumentato l'esponente e la base)
(ho diminuito la base e l'esponente)Ho una catena di disuguaglianze.
Considero la successione a sinistra:
Siccome è una successione di interi che tende a , per il punto precedente, per , il fattore tende a .Invece la successione tende a 1, quindi il limite della successione di sinistra è .Invece considero la successione di destra
Il termine tende a , il termine tende a 1, quindi il limite è .Per il teorema del confronto anche la successione che sta in mezzo, tende a .Quindi, se ,
 
Si può dimostrare lo stesso per le successioni che vanno a .
  1. Se è una successione tale che per , allora
  2. se è una successione tale che ( può cambiaredi segno), allora
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