Condizione di Cauchy

Se una successione ammette limite, tutti i punti della successione si avvicinano al limite e quindi si avvicinano tra loro, ci poniamo il problema se vale il viceversa.

Successione di Cauchy

Definizione 5.14

Sia uno spazio metrico e sia una successione in . La successione si dice di Cauchy se avviene quanto segue:

(questo significa che se prendo due punti con indici abbastanza grandi essi stanno vicini tra loro)

 


Osservazione 5.6

Ogni successione convergente a un limite è di Cauchy.

 
Dimostrazione

Fissato , t.c. segue che . Per ogni , . Allora per la disuguaglianza triangolare:

 



Non vale il viceversa, infatti considero i seguenti esempi!

Esempio 5.16

Prendo una successione di razionali che converge ad un irrazionale, pensata nell'insieme dei reali. Questa successione in converge. Pensata nell'insieme dei razionali questa successione è di Cauchy ma non converge.


Se considero l'intervallo aperto la successione non converge pur essendo di Cauchy.

 

Spazio metrico completo

Definizione 5.15

Uno spazio metrico si dice completo se ogni successione di Cauchy a valori nello spazio è convergente a un punto dello spazio.

 


non è completo.


Teorema 5.11

è completo: ogni successione di Cauchy in è convergente.

 


Dimostrazione

Mostriamo prima che una successione di Cauchy è limitata (i punti stanno vicini tra loro). Fissato per si ha che . Questo implica per . L'insieme è limitato, se gli aggiungiamo i primi con (un numero finito di termini) è ancora limitato.


Un insieme limitato sta dentro un compatto. Allora c'è una sottosuccessione convergente a entro .


Mostriamo che tutta la successione converge al limite. Se la sottosuccessione converge a , significa che

ma la successione è di Cauchy, quindi
Posso scegliere . Se scelgo un ,
Per la formula 2, , e per la formula 1, , allora
e la successione converge a .

 


Teorema 5.12

Ogni spazio metrico compatto è completo (non vale viceversa).

 

Il secondo teorema si dimostra allo stesso modo.

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