Calcolo dei limiti

Calcolo dei limiti in R

Teorema 5.7

Siano e due successioni convergenti: , .

somma e differenza
la successione è convergente e ; la successione tende a ;
prodotto
la successione ottenuta moltiplicando i termini corrispondenti è convergente e ;
rapporto
se , cioè se , converge e . (si osservi che poichè la successione non tende a 0, per il teorema della permanenza del segno sarà definitivamente positiva o negativa).
+[potenza]
se , allora
logaritmo
allora è definita e tende a
 
Dimostrazione

Dimostriamo l'asserto nel caso del prodotto. Dobbiamo mostrare che tende a . osserviamo che negli spazi metrici ogni successione convergente è limitata.


Dobbiamo valutare la quantità

(Si è sommato e tolto la stessa quantità.)

Uso la disuguaglianza triangolare.

Raccolgo nel primo termine e al secondo
La successione essendo convergente è limitata. Quindi tutti gli sono minori di una certa costante , che non dipende da .

, quindi fissato un ,

, allora

Se , valgono entrambe le proprietà. se allora si ha

 

Somma e forma di indecisione [infty-infty]

Per il calcolo del limite della somma in valgono le seguenti regole:

  • se , , allora ;
  • se (cioè se la successione è limitata), , allora ;

(Ad esempio

  • se , , allora ;
  • se , , allora ;
  • se , , non si può decidere a priori il valore del limite, si ha una forma d'indecisione. Le successioni possono parzialmente compensarsi oppure una può prevalere sull'altra.
Esempio 5.10

 

Prodotto e forma di indecisione [0*infty]

Per il prodotto valgono le seguenti regole:

  • Se , allora ;
  • se e , ;
  • se , , si ha una forma di indecisione.


Esempio 5.11

 

Quoziente e forma di indecisione [0_0] e [infty_infty]

  • Se , e ,allora ;
  • se , e , allora ;
  • se , si ha una forma di indecisione.
  • se , allora ;

(E' importante che sia limitata)

  • se , , allora si ha la forma di indecisione .


Esempio 5.12
  • ;
  • Se , , allora

e siccome : e il limite tende a .

  • Se , e allora

ma , allora e oscilla.

 

Esempi di calcolo di limiti

Esempio 5.13

Al numeratore e al denominatore ci sono forme di indecisione .


Raccolgo il termine preponderante:

Si ha che , quindi le quantità tra parentesi quadra a numeratore e denominatore tendono a 1. Il limite in questione risulta

Moltiplico e divido per :

ma per il limite notevole e , da cui il limite da calcolare è uguale a .

 

Forme di indecisione di logaritmi e esponenziali

Date due successioni , con , allora si può scrivere

E quindi ho le forme di indecisione e .

Posso avere varie forme di indecisione con gli esponenziali, ad esempio:

E quindi precisamente ho una forma di indecisione se

  • (e quindi ) e , ho la forma di indecisione .
  • Se , ho la forma di indecisione ;
  • se ho la forma di indecisione
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