Punti esterni interni e di frontiera

Dato uno spazio metrico e un suo sottoinsieme :


Definizione 4.4

Un punto si dice punto interno di se esiste una sfera tutta contenuta in .

 


Poichè sta nella sfera, ovviamente deve appartenere ad .

Non tutti i punti appartenenti ad sono punti interni.


Definizione 4.5

in si dice esterno ad se esiste una sfera tale che intersecata con è l'insieme vuoto, cioè se esiste una sfera di centro che non ha punti in comune con , ma sta nel suo complementare.

 


Definizione 4.6

Dato l'insieme sottoinsieme di , l'insieme complementare è l'insieme degli in tali che non appartiene ad .

 


Se coincide con , il complementare è l'insieme vuoto.


Definizione 4.7

Un punto si dice di frontiera per se non è nè interno nè esterno, cioè tutte le sfere centrate in contengono punti di e punti non appartenenti ad , cioè .

 


L'insieme dei punti interni di si denota con . , insieme dei punti di frontiera si denota


Esempio 4.2

Lo spazio metrico considerato è dove è la distanza euclidea.

  1. Considero l'insieme contenuto in , tale che ., ma non è interno, perchè non esiste un intervallo centrato in 1 di lunghezza r, tale che .Questo dipende dalla proprietà della densità di .Per lo stesso motivo non è un punto esterno. è un punto interno, se scelgo ad esempio .In conclusione, i punti interni sono tutti i punti dell'intervallo aperto ; i punti esterni sono quelli minori di 0 e maggiori di 1; sono punti di frontiera.
  2. Sia . non ha punti interni, perchè dati due punti tra essi ci sono infiniti irrazionali. non ha nemmeno punti esterni, perchè preso un punto e un intervallo centrato nel punto, in esso sono contenuti infiniti razionali.Tutti i punti di sono punti di frontiera per .
 

Metrica indotta su un sottoinsieme

Ogni sottoinsieme non vuoto di uno spazio metrico può essere pensato a sua volta come uno spazio metrico, su cui mettiamo la metrica indotta dallo spazio , cioè la metrica di ristretta al prodotto cartesiano .


Esempio 4.3

Sia , . può essere considerato come un nuovo spazio metrico, dove è la metrica indotta da . Tutti i punti dell'intervallo sono interni ad .


Prendo ora un insieme , ad esempio . I punti interni a sono quelli contenuti nell'intervallo . Il punto è punto di frontiera. I punti esterni sono quelli nell'intervallo .


Se pensiamo a nello spazio metrico , i punti di frontiera diventano . I punti interni sono quelli nell'intervallo e i punti esterni sono negli intervalli .

 


Considero e una sfera . La bolla di centro e raggio nello spazio metrico è l'intersezione tra e la sfera nello spazio metrico .


Osservazione 4.1

Considerato l'insieme con una metrica fissata. Fisso un positivo e considero . Allora

  • I punti interni alla palla sono tutti i punti della palla.
  • Ogni punto nella sfera ha distanza da .
  • Ogni punto è centro di una sferetta tutta contenuta nella sfera grande, posso sceglierla ad esempio di raggio .
  • I punti esterni sono tutti i punti con distanza da maggiore di .
  • I punti di frontiera sono quelli con distanza esattamente uguale a da .
 

Punto di accumulazione per un insieme

Definizione 4.8

Considero uno spazio metrico e un sottoinsieme di . Un punto di si dice di accumulazione per se ogni sfera centrata in e di raggio intersecata con contiene almeno un punto di diverso da . Tale punto non deve necessariamente appartenere ad .

 


Una definizione equivalente per un punto di accumulazione è data dal seguente teorema:


Teorema 4.2

Se è di accumulazione per , allora ogni sfera contiene infiniti punti di .

 
Dimostrazione

Bisogna dimostrare che in ogni intorno di esistono infiniti punti di . Fissiamo un punto e un suo intorno circolare di raggio . Allora nella sfera deve stare almeno un punto diverso da .


La sua distanza da sarà maggiore di 0 e minore di . Chiamiamo la distanza di da . Consideriamo la sfera centrata in di raggio , . Il punto non è interno alla sfera.


Nella nuova sfera deve esserci almeno un punto di diverso da , che chiamo . Chiamo la distanza da a . Allora .


Considero , che conterrà un punto diverso da , e posso procedere così. Ho dimostrato che fissata una sfera iniziale qualsiasi, essa contiene infiniti punti di .

 


Segue quindi che un insieme finito non ha mai punti di accumulazione.


Esempio 4.4
  • Considero : qualsiasi punto di è un punto di accumulazione per , perchè in ogni intorno di ci sono punti di .
  • non ha punti di ccumulazione su . Preso un punto qualsiasi di , esso può essere intero o non intero. Se supponiamo che sia un intero, in un suo intorno di raggio , per esempio, non c'è nessun altro intero diverso da . Se non è intero, sia l'intero che ha distanza minima da . basta prendere un intorno di raggio (per piccolo) e centrato in , allora tale intorno non contiene nessun punto di .
  • Prendo un insieme qualsiasi con la metrica discreta. Preso un punto qualsiasi dell'insieme e un intorno centrato in di raggio , solo il punto è contenuto in tale intorno. Quindi in un insieme con la metrica discreta non ci sono punti di accumulazione per l'insieme.
 

Punto isolato

Definizione 4.9

Un punto si dice isolato per se esiste maggiore di 0 tale che contiene solo .

 


Esempio 4.5

Dalle osservazioni precedenti segue che contenuto in è fatto solo da punti isolati. Uno spazio con la metrica discreta è fatto solo da punti isolati.

 


Esempio 4.6

Sia

Osservo che

  • l'insieme non ha punti interni;
  • 0 è un punto di accumulazione per ;
  • I punti esterni sono tutti i punti di esclusi quelli di ed escluso 0.
 
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