Insiemi aperti e chiusi

Insieme aperto

Definizione 4.10

Un insieme in uno spazio metrico si dice aperto in se ogni punto di è punto interno ad . In altre parole, coincide con .

 


Esempio 4.7
  • Dato un punto e , una sfera in qualsiasi spazio metrico è un insieme aperto.
  • In l'intervallo non è aperto perchè 0 è punto di frontiera. Analogamente l'intervallo in non è aperto.
  • Bisogna sempre specificare dove si considera l'insieme. Ad esempio, preso nello spazio metrico esso non è aperto. Se considero come spazio metrico globale, esso è aperto.
  • L'intervallo come sottoinsieme di è aperto nello spazio metrico considerato.
 

Insieme chiuso

Definizione 4.11

Fissato uno spazio metrico , un insieme contenuto in si dice chiuso in se il suo complementare è aperto.

 


Esempio 4.8
  • in non è aperto, perchè il suo complementare, l'insieme degli irrazionali, non è aperto.
  • in è chiuso, perchè il suo complementare è aperto ed è l'unione di intervalli aperti.
  • L'insieme in definito come è chiuso.
  • L'insieme non è chiuso (il suo complementare contiene lo zero che non è interno ad esso).
  • in è sia chiuso che aperto.
  • L'insieme vuoto è sia chiuso che aperto.
 


Teorema 4.3

Dato uno spazio metrico e uno spazio contenuto in , allora è chiuso se e solo se contiene tutti i suoi punti di accumulazione..

 

(L'insieme dei punti di accumulazione di si indica con .)

Dimostrazione

: Sia chiuso e quindi aperto. Vogliamo dimostrare che contiene tutti i suoi punti di accumulazione.


Sia un punto di accumulazione per . Supponiamo per assurdo che . Se non sta in , sta in . Ma è aperto, allora esiste una sferetta centrata in e con raggio tutta contenuta nel complementare, quindi . Allora non è di accumulazione per . Questo è assurdo e va contro l'ipotesi.


: viceversa, supponiamo che contiene . Vogliamo mostrare che non è aperto.


Prendo un punto . Allora non può essere un punto di accumulazione per , perchè per ipotesi i punti di accumulazione stanno in . Allora esiste un intorno centrato in e di raggio , t.c. . Segue che è punto esterno e è è aperto.

 



Quindi vale la seguente caratterizzazione: gli insiemi chiusi contengono tutti i propri punti di accumulazione.

Chiusura di un insieme

Definizione 4.12

Dato un insieme , si chiama chiusura di , indicata con , l'insieme , ovvero l'unione tra e i suoi punti di accumulazione.

 


è il piu piccolo insieme che contiene .


Teorema 4.4
  1. La chiusura di un insieme è un insieme chiuso, cioè contiene tutti i propri punti di accumulazione.
  2. Se è chiuso, allora segue che
  3. Se contiene , segue che la chiusura di contiene la chiusura di .
  4. Se è un chiuso e contiene , segue che contiene anche .
 


Dimostrazione
  1. Bisogna dimostrare che ogni punto di accumulazione della chiusura appartiene alla chiusura stessa.Sia . Prendo un punto che appartiene a , ovvero un punto di accumulazione di . Allora in ogni suo intorno ci sono punti di . Prendo un intorno di raggio e centrata in , che chiamo . Allora non è vuota. Nella sfera prendo un punto appartenente a , con . Prendo un intorno che non contiene e tutto contenuto in . Essendo un punto di , può essere un punto di oppure un punto di accumulazione per . Se appartiene a , ho già trovato il punto di che stava nella sferetta . Se è un punto di accumulazione per , allora in esiste entro e quindi abbiamo dimostrato che fissato un punto di accumulazione per in ogni suo intorno è contenuto almeno un punto di , e quindi è anche punto di accumulazione per e sta in .Quindi è chiuso perchè contiene tutti i suoi punti di accumulazione.
  2. Se è chiuso, contiene , quindi è chiuso
  3. Se contiene , contiene . Ogni punto di accumulazione per è anche punto di accumulazione per .
  4. Se è chiuso e contiene , contiene anche i punti di accumulazione per , che sono anche punti di accumulazione per . Quindi contiene , perchè contiene gli elementi di e i suoi punti di accumulazione.
 


Esempio 4.9
  1. La chiusura di è .
  2. Preso l'insieme , la chiusura è .
  3. La chiusura dell'insieme dei punti della forma per , è l'unione di tale insieme con ;
  4. La chiusura dell'intervallo è l'insieme dei punti compresi tra 0 e 1 estremi inclusi.
  5. Nello spazio ambiente prendo i razionali compresi tra 0 e 1. La chiusura è l'insieme stesso.
 

Proprietà dei chiusi

Osservazione 4.2

Sia un insieme chiuso contenuto in . Sia limitato superiormente. Allora , cioè ammette massimo.


Infatti, il può essere un punto isolato per l'insieme oppure un punto di accumulazione. Se è punto isolato, allora appartiene ad ed è massimo. Se il è un punto di accumulazione, è chiuso e quindi lo contiene.

 

Proprietà dei chiusi e degli aperti

Teorema 4.5
  1. Fissato con una distanza , supponiamo di avere una famiglia di aperti in , al variaredi in un insieme di indici. Allora segue che l'unione degli è aperto.
  2. se sono aperti, allora segue che l'intersezione è aperta. (L'intersezione di un numero finito di aperti è aperto.)
  3. se sono una famiglia di chiusi, l'intersezione è chiusa.
  4. Se sono chiusi, segue che l'unione è chiusa.
 
Dimostrazione
  1. per mostrare che l'unione di una famiglia numerabile di aperti è aperta, bisogna dimostrare che ogni punto nell'unione è un punto interno.L'unione è un insieme non vuoto. Preso il punto , esso sarà contenuto in uno degli , che chiamo . Siccome è aperto, allora esiste un intorno contenuto nell'insieme aperto , perchè è punto interno di . Allora l'intorno è contenuto anche nell'unione. Quindi l'unione è un insieme aperto.
  2. Per mostrare che l'intersezione di un numero finito di insiemi è aperta, bisogna dimostrare che se prendo unpunto nell'intersezione, allora il punto è interno. Un punto appartenente all'intersezione è contenuto in ogni insieme dell'intersezione. Siccome gli insiemi che sto considerando sono aperti, in ognuno di essi esiste un intorno circolare di contenuto nell'insieme.Preso l'intorno con raggio piu' piccolo, esso è contenuto in tutti gli insiemi dell'intersezione.Allora sta anche nell'intersezione.Nota: la dimostrazione non vale nel caso di un numero infinito di insiemi, infatti non è detto che sia possibile prendere il minimo dei raggi di un numero infinito di intorni. Come controesempio, , considero gli intorni della forma . L'inf dei raggi è 0, e l'intorno di raggio 0 si riduce all'origine.
  3. Per mostrare che l'intersezione di una famiglia di chiusi è chiusa, dobbiamo dimostrare che il complementare è aperto. Il complementare dell'intersezione di insiemi è l'unione dei loro complementari:in questo caso, il complementare dell'intersezione di infiniti insiemi chiusi è l'unione di infiniti aperti, che per la proposizione precedente è aperta.
 
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