Definizioni fondamentali

Sfera centrata in P di raggio r

Definizione 4.2

Fissiamo uno spazio metrico . Fissiamo un punto in e un raggio . Definiamo la sfera di centro e raggio come .

 


Presa come metrica la distanza euclidea, in la sfera è l'interno del cerchio di centro P e raggio . In la sfera è l'interno del segmento di punto medio e lunghezza .

Se prendo un'altra metrica, ad esempio la metrica infinita, in la sfera di raggio è un'altra figura piana, non è un cerchio.

La sfera in uno spazio metrico contiene sempre il suo centro, e quindi non è mai vuota.

Proprietà di Hausdorf

Teorema 4.1

Dato uno spazio metrico , per ogni coppia di punti esiste un tale che .

 

(le due sfere non si devono intersecare)

Dimostrazione

Basta scegliere e verificare che Per assurdo, le due sfere non siano disgiunte. Sia un punto appartenente a . Allora

Poichè sta nella prima sfera, allora ha distanza da minore di .
sta anche nella seconda sfera, allora differisce da per un numero minore di .
Questo è assurdo.

 


Definizione 4.3

La sfera con centro e raggio si dice intorno circolare di di raggio .

 
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