Connessione

Definizione

Definizione 4.17

Considero lo spazio metrico con una metrica fissata. Sia . e si diranno separati se . (Questo non significa che sia necessariamente vuoto.)

 


Due insiemi separati sono necessariamente anche disgiunti, ma se due insiemi sono disgiunti non sono necessariamente anche separati.


Esempio 4.18

Su , , .

L'intersezione delle due chiusure contiene .

 


Definizione 4.18

In uno spazio metrico , si dice connesso se non è possibile trovare due insiemi e contenuti in separati tali che . (Un insieme si dice connesso se non è possibile spaccarlo in due insiemi separati)

 


Esempio 4.19
  • Se , allora è sconnesso.
  • In uno spazio metrico discreto tutti gli insiemi sono disconnessi.
 

Caratterizzazione dei connessi in R

Teorema 4.11

Sia contenuto in , () allora è connesso se e solo se o è un singleton D oppure è un intervallo.

 


Proprietà degli intervalli di : Un intervallo è caratterizzato dal fatto che presi due punti anche i punti compresi tra e sono contenuti nell'intervallo.


Dimostrazione

: Sia un insieme che non sia un singleton o un intervallo. Mostriamo che non è connesso, e quindi che è possibile trovare due sottoinsiemi di la cui unione è . Se non è un singleton, allora comprende almeno due punti. Se non è un intervallo, esistono due punti e un punto compreso tra e con . Allora posso scrivere i due insiemi separati, non vuoti, la cui unione è in questo modo: ; . In c'è almeno l'elemento e in l'elemento . I due insiemi sono separati, perchè: perchè contiene tutti i punti strettamente maggiori di .


In modo analogo segue che

e quindi non è connesso.


: Mostriamo il viceversa.

Un singleton è chiaramente connesso.

Sia dunque un intervallo. Procediamo per assurdo: Sia un intervallo non conneso. Allora esistono due insiemi con e , tali che e . e non sono vuoti. Suppongo e con .


Sia . è l'estremo superiore di un insieme non vuoto limitato superiormente. Allora o o o .


Dimostriamo che nessuna delle tre possibilità può essere vera.

  • Supponiamo . Allora tutti gli elementi tra e devono stare necessariamente in . Se sta in è massimo per , ed è di accumulazione per . L'assurdo è che , perchè contiene .
  • Se non sta in , è un punto di accumulazione di e deve stare in . Quindi . Questo è assurdo.
 
 Precedente