Proprietà formali delle serie

Somme di due serie

Proprietà 0: Suppiniamo di avere la serie e la serie , dove è una costante diversa da 0. Se la prima serie converge ad , la seconda converge a .


Proprietà 1: date le seire e considero la serie

  1. se converge ad e converge a , la terza serie converge ad ;
  2. se una serie converge e l'altra diverge, la somma diverge;
  3. se una serie diverge e l'altra oscilla limitatamente, la somma diverge.
  4. se una serie diverge a e l'altra diverge a ho una forma di indecisione.


Supponiamo di avere una serie a valori reali . Poniamo , e con , osservo che sia che sono maggiori di 0.


Allora posso scrivere (tengo conto del fatto che se allora , e vale viceversa se )


Inoltre , quindi , .


Segue che se converge, e quindi se la serie converge assolutamente, anche e convergono perchè sono minoranti di una serie convergente, e vale il criterio del confronto. Allora converge.


Quindi se una serie converge assolutamente, allora converge anche semplicemente (dimostrazione proprietà è già stata dimostrata usando il criterio di Cauchy).


Da questa dimostrazione si ricava che se la serie converge ma non converge assolutamente, e non possono convergere, altrimenti la serie converge assolutamente. Le serie devono divergere entrambe, facendone la sommatoria vi è compensazione.

Prodotto tra serie

Supponiamo di avere due serie, e . Allora definiamo i termini della serie prodotto


Osservazione 6.4

Considero i due polinomi:

Ricavo i coefficienti del prodotto usando le solite regole del prodotto tra polinomi:
I coefficienti sono quelli della serie prodotto.

 


Teorema 6.7

Siano e due serie assolutamente convergenti. Sia , , allora il prodotto converge assolutamente e converge ad .

 


Teorema 6.8

Supponiamo che e convergano ed almeno una delle due converga assolutamente. Allora converge e converge ad , dove e .

 


Se due serie convergono, non è detto che il prodotto converga, come mostra questo esempio.

Esempio 6.8

La serie converge per il criterio di Leibniz (è a segni alterni, è monotona decrescente, tende a 0). Non converge assolutamente.


Se moltiplichiamo questa serie per se stessa, abbiamo il prodotto di due serie convergenti, tuttavia la serie prodotto non converge, perchè il termine generale non va a 0.


Scrivo i primi termini del prodotto secondo Cauchy della serie con se stessa:

per pari:
e quindi non tende a 0.

 

Proprietà associativa

Raggruppando un numero finito di termini delle somme parziali trovo una sottosuccessione delle somme parziali di partenza. Se la serie converge, anche la sottosuccessione trovata converge allo stesso limite, quindi la proprietà associativa vale.


La serie identicamente nulla converge, ma se dissocio in ottengo una serie a termini alterni. Quindi la proprietà dissociativa non vale.

Proprietà commutativa

Esempio 6.9

Sia data la serie:

cioè
Metto questi termini in un ordine diverso, mettendo due termini positivi seguiti da uno negativo cioè
Ci si chiede quale sia il carattere della nuova serie.


Idea intuitiva: Se prendo tutti i termini positivi e quelli negativi solo ogni tanto, la serie potrebbe divergere, perchè so che in questa serie sia le parti positive che quelle negative divergono. Posso prendere una quantità di termini positivi tali che la loro somma superi un certo numero e poi sottrarre il primo termine negativo rimasto, e ripeto questo procedimento. Il numero dei termini da sommare per ottenere un numero superiore a aumenta all'aumentare di perché i termini che sommo sono sempre più piccoli. Dopo aver preso infiniti gruppi di termini positivi ho preso infiniti termini negativi. Trovo una serie permutata che diverge.


Questo avviene perchè la serie è convergente, ma non assolutamente convergente.

 


Definizione 6.3

Supponiamo di avere una serie e supponiamo di avere una corrispondenza biunivoca di su se stesso, . La serie si dice permutata della precedente.

 


Se considero la funzione inversa e la applico alla serie permutata, allora è la serie permutata di , cioè .


Definizione 6.4

La serie si dice incondizionatamente convergente se converge e se ogni sua permutata converge. Analogamente una serie si dice incondizionatamente divergente se diverge ogni sua permutata.

 


Teorema 6.9

La serie è incondizionatamente convergente se e solo se è assolutamente convergente; inoltre se una serie è assolutamente convergente tutte le permutate della serie hanno la stessa somma della serie di partenza (le compensazioni sono del tutto ininfluenti).

 


Teorema 6.10

Sia convergente ma non assolutamente convergente. Allora per ogni esiste una permutata convergente a .

 
Dimostrazione

Supponiamo . Vogliamo permutare i termini per far convergere la serie a . Sappiamo che la serie converge ma non assolutamente, quindi le somme parziali e non convergono.


Supponiamo ad esempio . Allora prendo una certa quantità di termini positivi e mi fermo quando la somma supera , e chiamo questa somma . Poi prendo un certo numero di termini negativi e mi fermo appena la somma di questi termini è inferiore a , e chiamo questa somma . Ripeto il procedimento piu' volte e ottengo termini . Le oscillazioni (cioè i discostamenti della somma dei termini da ) sono sempre piu' piccole, poichè i termini positivi e negativi vanno a 0. Quindi la serie , che è una permutata di quella di partenza, converge a .


Naturalmente il procedimento si può applicare ad ogni valore di .


Si può mostrare, in modo analogo, che si può ottenere una permutata divergente a

 
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