Definizione di serie ed esempi

Successione delle somme parziali

E' data una successione con . Per indicare la serie di termine generale si utilizza il simbolo

Una serie di termine generale può essere considerata come la successione delle somme parziali, dove si pone
A partire dalla successione si costruisce quindi la successione , ed il simbolo , usato per indicare la serie, ne suggerisce la definizione.

Serie convergente

Definizione 6.1

Data la serie , segue che

  • se

si dice che la serie converge ad ;

  • Se il limite di è si dice che la serie diverge a ;
  • se il limite di è si dice che la serie diverge a ;
  • se il limite di oscilla si dice che la serie è oscillante.
 


Osservazione 6.1

Condizione necessaria (ma non sufficiente!) affinchè una serie converga è che (se i termini non diventano sempre piu' piccoli la serie non può convergere).

 
Dimostrazione

Dalla definizione di si nota che . In altre parole . Se la serie converge ad , allora la differenza deve tendere a 0 per , e quindi .

 

Esempi

serie convergente
Considero la serie di Mengoli

Scrivo i primi termini:
In particolare osservo che
in particolare
Quindi posso scrivere
I termini uguali e di segno opposto si semplificano, rimane . Quando tende a e la serie converge a 1.

serie oscillante
Considero la serie

f

Studio la successione delle somme parziali. Applichiamo la definizione
in generale se è pari, se è dispari.


Quindi la serie oscilla.

serie divergente
Considero la serie

chiamata serie armonica. La successione tende a 0; Inoltre, in generale, se, come in questo caso, ho una serie di termine generale , la successione delle somme parziali è crescente, perchè quindi è monotona crescente.


Se una successione è crescente non può oscillare.


Per dimostrare che questa serie diverge, dimostriamo che la successione delle somme parziali della serie armonica non è limitata superiormente.


Il termine generale di questa serie è

Osservo che
Ho osservato che la differenza delle somme parziali di due potenze consecutive di 2 è sempre piu' grande di , cioè pongo .
Tutti i termini sono piu' grandi dell'ultimo termine che è ed i termini sono , da cui .


Il numero dei termini da sommare aumenta.


Se mostro che non è limitata ho completato la dimostrazione.

anche l'ultimo termine è maggiore di . Quindi in totale La serie diverge


Esercizio 6.1

Data una successione trovare la serie tale che , dove è la successione delle somme parziali.

 


Soluzione: Siccome si deve avere , i termini sono determinati dalla relazione , e poi pongo

Serie geometrica

La serie geometrica è la seguente: ove è un numero fissato reale.


Vogliamo stabilire per quali valori di la serie converge.

  1. Se la serie non converge perchè non tende a 0 e quindi non vale la condizione necessaria per la convergenza.
  2. Se la serie oscilla, si ha infatti, e in particolare
  3. Se la serie non converge, poichè il termine generale non tende a 0.
  4. Se , si ha , che tende a per , e quindi la serie non converge.
  5. Per valutare il caso , scriveremo le somme parziali in un modo piu' convenienteVerifichiamo che per , vale la relazione
    Infatti, se moltiplico entrambi i membri per ottengo:
    e sostituendo l'espressione si ha
    e svolgendo il prodotto a sinistra:
    e questa relazione è vera perché I termini opposti si eliminano.Se , allora , e quindi .(Si può anche verificare nuovamente che la serie diverge per , infatti se , allora . Se la serie oscilla limitatamente, se , la serie oscilla illimitatamente.)
Successivo