Criteri per la convergenza di serie a termini positivi

Criterio del rapporto

Teorema 6.3

Se allora converge.

 
Dimostrazione

Da si ricava che

La serie geometrica è la serie geometrica con ragione e converge, quindi anche la serie converge per il teorema del confronto.

 


Esempio 6.4

Considero la serie Se ho una serie a termini positivi, altrimenti ho una serie a segni alterni.


Considero la serie dei moduli e dimostro che converge, da cui segue la convergenza della serie di partenza, per ogni .


Applico il criterio del rapporto

La serie dei moduli converge perchè ho ottenuto un numero minore di 1.

 

Criterio della radice

Deriva dal criterio del confronto con la serie geometrica.


Teorema 6.4

Considero la serie . Se si mantiene definitivamente allora la serie converge. Se la serie diverge.

 
Dimostrazione

Elevo alla entrambi i membri della relazione , che vale per ipotesi, e ottengo , che deve valere definitivamente. Allora per il criterio del confronto, siccome con converge, anche converge.

 


Quindi: se la serie converge come abbiamo appena dimostrato, se la serie diverge (infatti e quindi non vale la condizione necessaria per la convergenza), se la serie potrebbe avere qualsiasi carattere.


Esempio 6.5

Applico il criterio della radice per determinare il carattere della serie .

e quindi il limite vale , cioè la serie converge per il criterio della radice.


Alternativamente si può usare questo procedimento:

definitivamente. La serie è la serie geometrica con ragione minore di 1, quindi converge. Allora per il teorema del confronto la serie di partenza converge.

 

Criterio di condensazione

Teorema 6.5

Supponiamo di avere una serie a termini positivi, che soddisfa la condizione . (I termini decrescono come succedeva per la serie armonica.) Allora le due serie e hanno lo stesso carattere.

 


Questo criterio è utile perchè a volte è piu' facile capire il comportamento della serie condensata piuttosto che quello della prima.

Dimostrazione

Consideriamo la differenza tra le somme parziali arrestate al termine e quelle arrestate al termine , che è una somma di termini, infatti:

convergenza
Poiché la serie è monotona decrescente, vale la disuguaglianza .


Scrivendo come somma di una serie telescopica, si ha, per la disuguaglianza precedente

e se la serie condensata converge, è limitato superiormente e quindi converge.

divergenza
Si ha anche che

e quindi se la serie condensata diverge, la successione non è limitata superiormente e quindi la serie diverge.

 

Applicazione del criterio di condensazione

Considero serie della forma , e ne determiniamo il carattere per ogni valore di .


Per il criterio di condensazione la serie ha lo stesso carattere della serie condensata

che è la serie geometrica di ragione . Questa serie diverge se vale la disuguaglianza
cioè per la serie diverge, per la serie converge.


Consideriamo ora serie della forma

  1. per , , la serie converge, il logaritmo è del tutto ininfluente;Se , posso porre , e la serie si riscrive come
    Ma per , quindi il termine generale della serie di partenza è minore o uguale di , e la serie converge essendo della forma con , allora la serie di partenza converge per il criterio del confronto.
  2. per , la serie diverge, il logaritmo è ininfluente, perchè prevale la potenza (lo si mostra con un ragionamento analogo a quello del punto precedente);
  3. per e la serie converge;Se , la serie si riduce a . Applico il criterio di condensazione:
    e per le proprietà dei logaritmi
    è una costante, e segue subito che se la serie converge.
  4. per e la serie diverge;(si ricava dal ragionamento al punto precedente)


Esempio 6.6

Studiamo il carattere della serie

e se Raccolgo :
e semplificando:
osservo che , quindi
Sappiamo che vale il limite notevole , quindi
La serie converge, essendo della forma con , quindi anche la serie di partenza, che ha termine generale asintotico a questa, converge.

 
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