Convergenza di una serie

Condizione necessaria e sufficiente per la convergenza

Abbiamo una condizione necessaria e sufficiente per la convergenza di una successione in . Quindi esiste anche una condizione necessaria e sufficiente per la convergenza di una serie, poiché una serie è la successione delle somme parziali.


Sappiamo che la serie converge se e solo se converge la successione , e quindi se vale la condizione di Cauchy per le successioni:

Riscrivendo in modo equivalente la differenza , si ottiene la seguente condizione:

Teorema 6.1

La serie è convergente se e solo se esiste un tale che per ogni e si ha .

 

Convergenza assoluta

Definizione 6.2

Si dice che converge assolutamente se converge , e quindi se converge la serie dei moduli.

 


Osservazione 6.2

Se una serie converge assolutamente, allora converge (anche in senso ordinario), cioè, se converge la somma dei moduli di , converge anche .

 
Dimostrazione

Per far vedere che converge mostriamo che è verificato il criterio di Cauchy.


Per ipotesi la somma dei moduli converge, quindi vale il criterio di Cauchy per la serie dei moduli, cioè, se fisso t.c. si ha . Siccome il modulo della somma è minore uguale della somma dei moduli, quest'ultima condizione implica che e quindi che verifica la condizione di Cauchy, e quindi la serie è convergente.

 


Esempio 6.1

Il viceversa non vale, come mostra il seguente controesempio.


Se ho infiniti termini negativi e positivi essi potrebbero compensarsi, nella serie senza moduli in modo che la serie converga, ma questo non avverrebbe nella serie con i moduli.


Considero ad esempio la serie . Allora

In particolare,
La serie converge a 0.


Considero invece la serie dei moduli , indichiamo con la successione delle sue somme parziali.

ove è la somma parziale -esima della serie armonica, quindi non è limitata: la serie dei moduli diverge.

 

Teorema del confronto

Un numero finito di termini non influisce sulla convergenza di una serie, ma solo sulla somma. Inoltre, vale


Teorema 6.2

Consideriamo serie con termini positivi. Supponiamo di avere tre serie . Sui loro termini per ogni vale la seguente relazione: . Allora:

  1. se converge, anche converge (se la serie con termini piu' grandi converge, anche quella con termini piu' piccoli converge). si dice maggiorante di .
  2. se diverge, anche diverge (se diverge la serie con termini piu' piccoli, anche quella con termini piu' grandiconverge). si dice minorante di
 
Dimostrazione

L'ipotesi implica che . Allora

  1. Se converge, allora è limitata, perchè tende alla somma per difetto, quindi , summa parziale di una serie a termini positivi, è limitata, e quindi converge.
  2. Se la serie diverge, e quindi non è limitata e diverge.


Nota: Se la disuguaglianza vale per , non posso scrivere . Ma posso scrivere , poichè , , sono costanti, valgono ancora le considerazioni precedenti.

 


Osservazione 6.3

Supponiamo , , , allora le serie e hanno lo stesso carattere.

 
Dimostrazione

Per definizione, significa che per abbastanza grande . Quindi, definitivamente vale . Allora per il teorema del confronto, siccome e diverge, anche diverge. Inoltre, siccome definitivamente , se converge anche converge.

 


Esempio 6.2

converge, perchè è asintotica alla serie di Mengoli, che converge.

 


Esempio 6.3

Consideriamo serie a termini non negativi della forma

  • .


Per si ha che . Siccome la serie armonica diverge, anche la serie considerata che ha termini piu' grandi diverge.


Per , la serie ha termini piu' piccoli della serie di Mengoli, quindi converge.


Per si può dimostrare che la serie converge solo con il criterio di condensazione.

  • . Il termine generale di questa serie è asintotico a , quindi la serie diverge.
  • Considero la serie a termini negativi .

Si nota che per il limite notevole, e . converge, quindi anche la serie iniziale converge.

 
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