Insiemi numerici

I numeri naturali

L'insieme dei numeri naturali si indica con ed è definito nel modo seguente:

All'interno di questo insieme sono state definite due operazioni: la somma () e il prodotto (), e si ha che

  • la somma di due numeri interi positivi o nulli è sempre un numero intero positivo o nullo.

(invece la differenza tra due interi positivi o nulli non è sempre un intero positivo o nullo, potrebbe non essere definita in )

  • il prodotto di due numeri interi positivi o nulli è sempre un numero intero positivo o nullo

(invece il quoziente tra due interi positivi raramente è un numero intero).

I numeri interi hanno un ordinamento.

I numeri interi relativi

L'insieme dei numeri interi si indica con ed è definito nel modo seguente:

Anche nell'insieme il quoziente non è sempre definito. è un ampliamento dell'insieme .

I numeri razionali

L'insieme dei numeri razionali si indica con ed è definito come segue:

Uguaglianza: Due numeri razionali, e sono uguali se hanno lo stesso segno e se . Non si può dividere per .


Ordinamento: se due numeri razionali, e sono positivi, se e solo se

Limiti dell'insieme : Nell'insieme non tutti i segmenti sono misurabili (per esempio la diagonale di un quadrato con lato ).


Non esiste un numero razionale il cui quadrato sia . Infatti, l'equazione implica e non esistono due interi legati da questa relazione.


Rappresentazione degli elementi di : i numeri razionali si rappresentano come numeri decimali della forma

Sono esclusi i numeri di periodo 9 (cioè in cui a partire da un certo ).


Partendo da un numero periodico si può scrivere poi la frazione generatrice. In altre parole, c'è una corrispondenza biunivoca tra i razionali e gli allineamenti periodici che non siano di periodo .

I numeri reali

L'insieme dei numeri reali si indica con e si può rappresentare in modi diversi. La modalità degli allineamenti decimali è la piu' intuitiva e rende facile il confronto tra numeri.

L'insieme è l'insieme degli allineamenti decimali periodici (numeri razionali) o non periodici (numeri irrazionali); sono esclusi gli allineamenti periodici di periodo .


Come vedremo, l'insieme ha la proprietà di completezza: un insieme limitato superiormente ammette un estremo superiore.


Uguaglianza: dati e si ha se , , , .


Ordinamento in : Dati e :

  • se i due numeri hanno segno diverso, quello di segno positivo è maggiore dell'altro;
  • se e hanno lo stesso segno allora se , e se ;
  • altrimenti, se , se e se ;

In forma sintetica, dati due numeri con lo stesso segno, cerco la prima cifra nell'allineamento decimale per cui i due numeri differiscono: il numero per cui tale cifra è maggiore è il più grande tra i due confrontati.


Relazione d'ordine totale: Dati due numeri e capita uno e uno solo dei tre seguenti fatti: oppure oppure , inoltre valgono le seguenti proprietà

  • proprietà transitiva: se e , allora
  • proprietà antisimmetrica: se e , allora

Teorema di densità dei razionali nei reali

Teorema 1.1

Fissati due numeri reali e in , , allora esistono infiniti numeri razionali tali che ; esistono infiniti numeri irrazionali tali che .

 
Dimostrazione

Per dimostrare che ci sono infiniti numeri basta dimostrare che ce n'è uno. Infatti, una volta trovato un numero razionale compreso tra e , per un ragionamento analogo esiste un numero compreso tra e che chiamo . Ripeto la stessa costruzione e trovo il numero compreso fra e . Ripetendo il procedimento ottengo che tra e ci sono infiniti numeri: . Siano

Costruisco prima un numero razionale compreso tra e : per ipotesi : suppongo . Se , allora la prima cifra di sarà . Se invece , allora avrà come prima cifra e come seconda cifra , pongo tutte le cifre successive uguali a 0.


Se hanno tutte le cifre uguali fino alla -esima e , ripeto il procedimento di prima: applicato alla cifra :

  • se costruisco ponendo per e , e le cifre successive uguali a 0.
  • se costruisco ponendo per , e . e le cifre successive uguali a 0.

Per costruire numeri irrazionali cerco la prima cifra diversa da in , supponiamo che sia la -esima: allora pongo per , , invece di sostituire le cifre successive con 0, metto la serie non periodica . Il numero che trovo è irrazionale, è maggiore di e minore di .

 
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