Insieme superiormente o inferiormente limitato

Definizione 1.1

Sia un sottoinsieme. Allora

  1. si dice limitato superiormente se esiste tale che , segue che .
  2. si dice limitato inferiormente se esiste tale che .
  3. si dice limitato se è limitato sia inferiormente che superiormente.
 


Esempio 1.1
  1. L'insieme di tutti i numeri negativi è limitato superiormente da e da ogni numero positivo.
  2. L'insieme di tutti i numeri positivi non è limitato superiormente.
  3. Sia . L'insieme è superiormente limitato da 27.
  4. l'insieme di tutti i numeri reali compresi tra 1 e 2 è limitato.
 


Definizione 1.2

Si dice che è un massimo per se e , allora

 


Osservazione 1.1

Non sempre un insieme limitato superiormente ammette massimo. Sia ad esempio . 2 non è massimo per perché non appartiene all'insieme.

 


Il massimo e il minimo se esistono sono unici.


Definizione 1.3

si dice maggiorante se per ogni .

 


Teorema 1.2

Sia un sottoinsieme di , limitato superiormente. Sia l'insieme (non vuoto) dei maggioranti di . Allora ammette minimo , e si pone .

 

Questo teorema vale per tutti gli insiemi limitati superiormente. Il massimo di un insieme, se esiste, è il minimo dei maggioranti.


Dimostrazione

Considero il caso in cui qualche elemento di è positivo. Allora i maggioranti sono tutti positivi, della forma . Devo costruire il piu' piccolo dei maggioranti.

  1. Considero le parti intere di tutti i numeri positivi dell'insieme . Sia .Sia l'insieme degli elementi di che hanno la parte intera uguale a .
  2. Confronto la prima cifra decimale di tutti gli elementi che stanno in . Sia .Sia l'insieme degli elementi di della forma .
  3. Considero la seconda cifra decimale dei numeri contenuti in . Chiamo . Chiamo l'insieme degli elementi della forma .
  4. Si ripete l'operazione, e dopo passi si ha che il minimo dei maggioranti è il numero .


Gli sono non vuoti. Devo dimostrare che è il piu' piccolo dei maggioranti. Ma questo è ovvio, perché se esistesse un maggiorante , esso avrebbe una cifra minore di quella di , e quindi esisterebbero elementi di maggiori di , cioè non sarebbe un maggiorante.

 


Teorema 1.3

Sia , limitato inferiormente. Se è la classe dei minoranti (diversa dall'insieme vuoto perchè l'insieme è limitato inferiormente), allora ammette massimo . Si pone , Se ammette minimo, allora .

 

Teorema di completezza dell'asse reale

Teorema 1.4

Siano e sottoinsiemi di , con e , tali che la loro unione coincide con e , allora (se questo avviene si dice che gli insiemi sono separati). Allora esiste un tale che , e .

 


Osservazione 1.2

L'insieme non ha la proprietà di completezza, infatti, per esempio, posso considerare gli insiemi:

e soddisfano le ipotesi del teorema: soddisfa la proprietà , ma , cioè non esiste che soddisfa la proprietà cercata.

 


Teorema 1.5

Sia limitato superiormente, allora se e solo se per valgono le due seguenti proprietà:

  1. è un maggiorante, cioè ;
  2. per ogni , esiste un tale che .
 


Esiste un teorema analogo per l'estremo inferiore.

Notazione: Se non è superiormente limitato, allora si scrive che . Se non è inferiormente limitato, allora si scrive che .

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