Nuova definizione dei numeri complessi

Ogni numero complesso si può scrivere come: Vedremo che Questa scrittura è suggestiva ma troppo elaborata per fare le operazioni.


Facciamo ora alcune considerazioni.


Dati due numeri e laloro somma risulta . Facendo il prodotto si ottiene .


Questi numeri sono ancora della forma  ;fomano un sottocampo del campo complesso. Per questi numeri la somma e il prodotto sono come le analoghe operazioni sui numeri reali . Invece di scrivere si scrive .


Per rendere più comoda la scrittura , identificando con , con , con , mentre la coppia speciale viene scritta come . Ogni numero complesso con queste convenzioni si può scrivere come . si osservi che

cioè la coppia ha la proprietà che . scritti i nmeri complessi nella forma precedente le operazioni si fanno come siamo abituati con le regole del calcolo letterale: Con questa scrittura fare le operazioni è più semplice. Lo stesso risultato si ottiene anche con l'altra scrittura.


Per svolgere il prodotto applico la regola del prodotto del binomio.

e poichè
risulta
Da qui si capisce come appaia il segno nella formula del prodotto tra numeri complessi della scrittura di questi come coppie .

Ordinamento

Non è possibile introdurre nel campo complesso un sistema di ordinamento compatibile con le operazioni; poichè si dimostra facilmente che il quadrato di un numero dovrebbe sempre risultre positivo, che è negativo e ciò è in contrasto con

Piano complesso

Dato un numero complesso , si dice parte reale e si scrive e si dice parte immaginaria e si scrive .


I numeri reali sono quelli che hanno coefficiente immaginario uguale a 0.


Il piano complesso è costituito da due assi cartesiani ortogonali. Un numero complesso si rappresenta indicando sull'asse y la parte immaginaria e sull'asse x la parte reale. Da mando la verticale, da mando l'orizzotale. Il punto d'incontro è .


In questo piano i numeri reali sono lungo l'asse delle x (perchè hanno parte immaginaria uguale a 0).


L'asse y rappresenta i numeri immaginari puri.

Modulo e coniugato

Definizione 2.2

Dato il numero si introduce il numero complesso detto coniugato che è uguale a . La parte reale è la stessa, mentre la parte immaginaria è cambiata di segno.

 


Sia e , allora

  • ;


Definizione 2.3

è il quadrato della distanza dell'immagine del punto dall'origine, e la sua radice è detta modulo di .

 


Se è puramente reale il suo modulo è uguale al suo valore assoluto; se è puramente immaginario, il modulo di è il valore assoluto del coefficiente della parte immaginaria, inoltre se e solo se

Il modulo soddisfa le seguenti proprietà:

  • disuguaglianza triangolare: il modulo della somma è minore o uguale della somma dei moduli, cioè

Questa proprietà vale anche tra i numeri reali.

  • Dalla disuguaglianza triangolare si ricava che il modulo della differenza è maggiore o uguale della differenza dei moduli.



Interpretazione geometrica: In ogni triangolo la lunghezza di un lato è minore o uguale della lunghezza della somma degli altri due.


Disegno un triangolo di vertici e . la somma si fa con la regola per i vettori. è la diagonale del parallelogramma che ha come lati e .


La lunghezza della diagonale del parallelogramma è uguale alla somma delle lunghezze dei due lati quando il parallelogramma degenera in un segmento, e quindi quando e giacciono sulla stessa retta e hanno lo stesso verso.

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