Numeri complessi scritti in forma trigonometrica

La scrittura dei numeri complessi nella forma rende complicato l'elevamento a potenza. Per elevare un numero complesso all'-esima potenza è necessaria la formula dello sviluppo del binomio (formula di Newton).


Bisogna introdurre nuovi parametri per esprimere un numero complesso.


sia , allora esso può essere scritto nella forma:

Disegno il piano complesso, e in esso fisso . è la lunghezza del segmento che parte da O e arriva in .


Per sovrapporsi all'asse x il vettore rappresentativo del numero complesso deve ruotare di un angolo in senso orario, dove è tale che

L'argomento dice in che punto della circonferenza centrata nell'origine degli assi di raggio si trova il numero, mentre il modulo indica il raggio della circonferenza.
. Aumentando di un multiplo di , nulla cambia.


Esercizio 2.1

Scrivere in forma trigonometrica i seguenti numeri complessi scritti in forma algebrica:

  1. Forma trigonometrica:
  2. Forma trigonometrica:
 

Prodotto e quoziente

Il prodotto e il quoziente di due numeri complessi scritti in forma trigonometrica sono piu' semplici. Sia . Sia , con . Allora è uguale a un numero complesso che ha come modulo il prodotto dei moduli di e e come argomento la somma degli argomenti.

Analogamente per il quoziente si ha
Il risultato ha come modulo il quoziente dei moduli di e moltiplicato per la differenza degli argomenti. Per dimostrare la formula del prodotto e del quoziente si utilizzano le formule di addizione e sottrazione del seno e del coseno.


Esercizio 2.2

Dimostrare la formula del prodotto moltiplicando .

 
Dimostrazione

 

Elevamento a potenza

Definizione 2.4

Dato un numero complesso , si definisce la sua potenza -esima come

 


Questa formula si ricava dalla formula del prodotto.

Radice ennesima di un numero complesso

Definizione 2.5

Sia . Sia . Diciamo che è una radice n-esima di se .

 


Teorema 2.1

Fissato l'intero , allora ogni numero complesso ha esattamente radici distinte.

 

Per esempio nel campo reale , nel campo complesso il simbolo indica tre numeri distinti.

Dimostrazione

Cerchiamo la soluzione dell'equazione polinomiale di grado , dove è l'incognita, è fissato.

Per il teorema precedente l'uguaglianza equivale a:
Affinchè i due numeri siano uguali il modulo dev'essere uguale e gli argomenti devono differire per un multiplo di . ottengo due equazioni:
Prima equazione:
seconda equazione:
Un numero complesso non ha infinite radici, ma solo . Per chiarire sia ,
A partire da ottengo argomenti che differiscono di dai precedenti. Per trovo solo argomenti.

Si ragiona in modo analogo per un generico .

 


Esercizio 2.3

Trovare le radici terze di .

 

Nell'insieme . Nell'insieme , ha tre soluzioni.

Applico la formula.
Moltiplicando ognuno dei tre numeri per sé stesso per tre volte ottengo .

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