Calcolo dei limiti

Teorema di permanenza del segno e teorema del confronto

Sia , con spazio metrico qualsiasi


Teorema 7.2

Sia , , . Se allora esiste un tale che per ogni , e , segue che .

 


Teorema 7.3

Ho tre funzioni definite in un insieme contenuto in a valori in . Sia e . Supponiamo che valga la relazione . Allora se , segue che .


Inoltre, se , anche ; se , anche .

 

Relazione tra limiti per funzioni e limiti per successioni

Il seguente Teorema lega i limiti per successioni e i limiti per funzioni.


Teorema 7.4

Sia , . Allora

se e solo se per ogni successione , , e tale che si abbia .

 


Questo teorema è utile perchè permette di applicare i limiti notevoli anche nel calcolo dei limiti per funzioni. Ad esempio sappiamo che per ogni , , quindi .


Dimostrazione

Errore del parser (funzione sconosciuta '\LONGRIGHTARROW'): {\displaystyle 1 \LONGRIGHTARROW 2} : Per ipotesi:

Questo significa che
Inoltre , quindi per , . allora , cioè .


Errore del parser (funzione sconosciuta '\LONGRIGHTARROW'): {\displaystyle 2 \LONGRIGHTARROW 1} : Viceversa, se per ogni successione tale che avviene che , allora mostriamo che anche il limite della funzione per dev'essere uguale a .


Supponiamo che il limite non sia . Allora , negando la definizione di limite, esiste tale che per ogni , esiste un che appartiene ad , con , tale che , ma .


La proprietà deve valere per ogni , allora

  • Fissiamo , allora trovo un punto tale che , ma .
  • Fisso , allora trovo un punto tale che con ma .
  • Fisso , allora trovo un punto tale che ma .

La successione costruita è tale che per , , perchè siccome diminuisce, la distanza tende a 0. Allora ho trovato una successione tale che , ma , quindi tale che non converge a , assurdo.

 

Conseguenze

Supponiamo che

allora si ha che
(derivano dai limiti notevoli per successioni)


Esempio 7.7

Calcoliamo i seguenti limiti:

Vale il limite notevole

, quindi .

(infatti )

 

Teorema del calcolo dei limiti

Teorema 7.5

Siano , due funzioni definite su uno stesso insieme contenuto in a valori in , e sia . Supponiamo che

allora:

 

Come nel caso di limiti di successioni, si hanno le seguenti forme di indecisione : , , , .


Esempio 7.8

Ho la forma di indecisione Se un polinomio si annulla per allora è divisibile per . Scompongo numeratore e denominatore per poter semplificare il fattore :

Ho la forma di indecisione

 

Asintotico o piccolo

Anche nei limiti per funzioni si possono usare i seguenti simboli, ma bisogna stare attenti al contesto.


  1. per significa che
    Ad esempio, per , ma non per .
  2. per significa che
  3. per significa che
    Il valore di è controllato dal valore di una costante .
  4. ( è dello stesso ordine di grandezza di ) se esistono due costanti tali che.
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