Proprietà degli integrali

Linearità

Teorema 11.4

siano Riemann-integrabili su . Allora anche è Riemann-integrabile e per ogni , si ha che è Riemann-integrabile.


(in forma sintetica: una combinazione lineare di funzioni integrabili è integrabile.)


Inoltre

 


L'insieme delle funzioni Riemann integrabili su è uno spazio vettoriale su rispetto alle solite operazioni.


L'applicazione che associa a una funzione nella classe delle funzioni integrabili il valore dell'integrale è lineare.

Proprietà di monotonia

Corollario 11.1

Siano e , allora

 
Dimostrazione

, quindi (le somme superiori di una funzione positiva sono sempre maggiori o uguali a 0). Quindi per linearità

 

Modulo dell'integrale

Teorema 11.5

sia . Allora e vale la disuguaglianza:

 

(Per le somme sarebbe: il modulo della somma è minore o uguale della somma dei moduli)


Data una suddivisione P dell'intervallo , allora .


Infatti su ogni intervallo se chiamo e si ha che , dove e sono inf e sup della funzione nel medesimo intervallo.


Suggerimento per la dimostrazione: considerare i tre casi , , cambia segno.

Dimostrazione
Caso 1
$f(x) \ge 0$:Se , quindi ;
Caso 2
$f(x)<0$:In questo caso e si ha e , quindi
Caso 3
$f$ cambia di segno:In questo caso e , quindi


La massima variazione del modulo è piu' piccola della massima variazione della funzione. Si ha quindi che quindi è integrabile.


Siccome

per il teorema di monotonia si ha
quindi

 

Teorema di additività

Teorema 11.6

Sia , limitata. Allora i due seguenti fatti sono equivalenti:

  1. per ogni , e .

Inoltre, se una delle due condizioni è verificata, si ha:

 


Se disegno il grafico di una funzione, nel caso di funzione positiva il teorema afferma che l'area del trapezoide T è uguale alla somma delle aree dei trapezoidi (delimitato lateralmente da e ) e delimitato lateralmente da e .

Dimostrazione

La dimostrazione deriva dalla condizione di integrabilità e dalla definizione di integrali. Se la funzione è integrabile su esistono e tali che per la condizione di integrabilità su . Se aggiungo il punto c alla partizione P, la differenza tra le somme inferiori e quelle superiori diventa piu' piccola di e quindi anche minore di , e nelle due partizioni parziali di e a maggior ragione è minore di , donde integrabile nei due sottointervalli. Il viceversa si ottiene con analoghe considerazioni.

 

Convenzioni

Definizione 11.6

Sia . Allora per definizione si pone:

e

 


Ad esempio


Osservazione 11.2

Sia e , messi in una posizione qualunque tra loro, appartengano ad . Allora vale sempre che

 
Dimostrazione

Se ottengo il teorema precedente sull'additività. Negli altri casi si può verificare comunque la relazione usando le convenzioni.


Siccome sono in gli integrali sono definiti e se per esempio , allota


Se ad esempio sappiamo che

inoltre
Dalla relazione precedente, portando al primo membro ottengo

 


La disuguaglianza del modulo

non vale sempre, infatti se il secondo membro è negativo, però vale la seguente:
per ogni comunque messi.

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