Integrazione

Introduzione

L'integrazione permette di risolvere il problema del calcolo delle aree.


I greci avevano postulato che l'area di un rettangolo con lati e è il prodotto . Avevano anche capito che la somma delle aree di due insiemi disgiunti è l'area dell'insieme totale.


Partendo da queste conoscenze i greci riuscirono a ricavare anche la formula dell'area di un triangolo, sfruttando il fatto che un rettangolo è formato da due triangoli rettangoli uguali.


Dall'area di un triangolo qualsiasi si può ricavare anche l'area delle poligonali chiuse.


Nasce il problema di calcolare l'area di una figura chiusa il cui contorno che non fosse una spezzata.


Si era scoperto che si poteva calcolare l'area del cerchio con buona approssimazione moltiplicando il quadrato del raggio per .


I greci calcolarono l'area del quadrato inscritto al cerchio, che è piu' piccola di quella del cerchio. L'area dell'ottagono circoscritto al quadrato e inscritto al cerchio è piu' grande di quella del quadrato e piu' piccola di quella del cerchio. All'aumentare del numero dei lati del poligono inscritto alla circonferenza l'area cresceva ed era sempre piu' vicina all'area racchiusa della circonferenza. L'area del cerchio è quindi proporzionale al quadrato del raggio.


Il principio utilizzato per il calcolo dell'area del cerchio era quello di "riempire" il cerchio con poligonali di cui si conosceva l'area.

Area di trapezoidi

Dato il grafico di una funzione con il trapezoide è l'insieme dei punti compreso tra l'asse delle x, il grafico della funzione e le due rette verticali e . Il trapezoide ha tre lati rettilinei (l'asse x in basso, le rette e ai lati) e una linea curva (il grafico della funzione in alto).


Vedremo come approssimare l'area del trapezoide con quella di plurirettangoli, di cui sappiamo calcolare l'area.


Non sempre questo è possibile, infatti, ad esempio, la funzione che vale 0 per i numeri irrazionali e 1 per i razionali non si può approssimare bene con i plurirettangoli.


Data la funzione

Archimede, molto bravo, riusciva a calcolare l'area con precisione. Quest'area vale e lo calcoleremo in modo meccanico.


Definizione 11.2

Supponiamo di avere una funzione definita su un intervallo limitato a valori in , cioè . Sia limitata, cioè . Una partizione dell'intervallo è un insieme di punti tali che

Associamo alla partizione i numeri e . La funzione è sempre compresa tra e nell'intervallo .

 


Definizione 11.3

Si chiama somma inferiore di relativa a il numero:

e si chiama somma superiore il numero:

 



Se disegnamo il grafico della funzione e la partizione , con , allora si può cercare il in ognuno dei quattro intervalli. è l'area del plurirettangolo circoscritto, che è formato dai rettangoli che hanno per base l'ampiezza dell'intervallo e per altezza .


Se si considera per la stessa funzione, si cerca l' in ognuno degli intervalli. Allora è l'area del plurirettangolo inscritto al grafico della funzione, formato dai quattro rettangoli che hanno per base l'ampiezza degli intervalli e per altezza , che è il minimo in ogni intervallo.


La differenza .


è positivo, perchè l'estremo superiore è sempre maggiore di quello inferiore, e anche

La differenza è una sommatoria di termini positivi o nulli e quindi è sempre piu' grande di rispetto alla stessa suddivisione.


Prendiamo un punto nell'intervallo di estremi e . Prendiamo quindi una nuova suddivisione, dove tutti gli intervallini sono uguali a quelli della partizione precedente ad eccezione dell'intervallino che viene sostituito con i due intervalli e .


I contributi ad e relativi agli intervalli non cambiati non vengono alterati.


Calcoliamo i contributi a e dell'intervallo con la nuova partizione.


Nelle somme superiori si ha termine , dove è il sup di per x compreso tra e , mentre è il sup di quando x varia tra e .


e sono minori o uguali di Il sup di un sottointervallo non può essere maggiore del sup dell'intervallo. Quindi


Allora

(infatti e ).


Se si aggiunge un punto alla suddivisione le somme superiori diminuiscono, ed analogamente si mostra che le somme inferiori aumentano.

Riassumendo:


Se è un raffinamento di (ha tutti i punti dell'altra partizione a cui ne aggiungo altri), si ha che . Il raffinamento aumenta le somme inferiori e diminuisce le somme superiori.


Date due suddivisioni e , si può fare un raffinamento comune, cioè si possono prendere l'unione di tutti i punti delle due suddivisioni.


è un raffinamento di e di contemporaneamente.


Allora .


Quindi una somma inferiore qualsiasi è minore di una somma superiore qualsiasi, cioè indipendentemente dalla scelta delle partizioni e .

integrali inferiori e superiori

Definizione 11.4

Sia una funzione limitata definita in un intervallo chiuso e limitato.


Definiamo gli integrali inferiore e superiore su un intervallo in questo modo:

  1. l'integrale inferiore indicato con
    dove è l'insieme di tutte le partizioni possibili.
  2. l'integrale superiore indicato con
 


Siccome la funzione è limitata, e


Osservazione 11.1

L'integrale inferiore è sempre minore o uguale dell'integrale superiore.

 


Dimostrazione

Fissiamo una partizione , allora per ogni partizione , e quindi .


Allora per definizione .


Ma la disuguaglianza vale per ogni partizione fissata, allora anche dev'essere maggiore o uguale di , ma per definizione. questo significa che .

 
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