Integrali impropri

L'integrale di Riemann è definito per funzioni limitate e definite in un intervallo chiuso e limitato .


Con il concetto di integrale improprio vogliamo dare un significato all'integrale di una funzione su un intervallo , anche quando la funzione non è limitata nell'intorno di o di , oppure quando gli estremi dell'intervallo sono o .

Integrali impropri di prima specie

Sia una funzione definita in .


La funzione sia integrabile in ogni intervallo con , quindi si può calcolare

con compreso tra e . è la funzione integrale.


La funzione ammette integrale improprio in se esiste

Il limite potrebbe non esistere o essere infinito: in questi casi non si può definire l'integrale di neanche mediante l'integrale improprio.


Se la funzione fosse limitata, il limite sarebbe l'integrale, perché la funzione sarebbe integrabile in tutto . Se la funzione è positiva e integrabile, l'area del sottografico che è una figura illimitata è un numero finito!


Se esiste finito, il limite si indica con

Integrale improprio di prima specie per funzioni della forma frac1t^alpha

Queste funzioni non sono definite in

Per ottengo:

Per una primitiva di è

Se questa quantità converge a per , se la quantità tende a .

Analogamente si può definire l'integrale improprio di prima specie per una funzione con una singolarità in , allora si integra negli intervalli , con poi si calcola il limite per .


Esempio 11.7

E' integrabile per . Se l'integrale diverge.

 

Integrali impropri di seconda specie

Sia la funzione . è integrabile in ogni intervallo chiuso , con .


Allora si considera:

Se il limite è finito, lo si pone .


Se il limite non esiste la funzione non è integrabile in .


Esempio 11.8

Vogliamo stabilire se le funzioni sono integrabili in

Per , ottengo
Non esiste l'integrale di in

Altrimenti la primitiva è

Se il limite va a e l'integrale improprio non esiste, mentre se la quantità tende a (stesso comportamento delle serie).

 



Funzioni illimitate possono avere un'area finita su . Per esempio considero una funzione:

è non limitata ma integrabile.

Criteri per le funzioni ricavati dalla condizione di Cauchy

Dal criterio di Cauchy per le serie si ricava che se una serie converge assolutamente allora converge anche in senso ordinario e quindi per il criterio del confronto se una serie in modulo è minorante di una serie convergente, allora converge.


Questo risultato vale anche per gli integrali impropri:


Criterio 1: Sia , integrabile in ogni intervallo chiuso , con .


Se e , allora, se è integrabile in anche lo è. (se è maggiorata in valore assoluto da una funzione integrabile, allora è anch'essa integrabile.)


Inoltre, se , se g è integrabile, lo è anche e vale .


Esempio 11.9

In base al criterio, posso concludere che esiste

Infatti in modulo la funzione è minore di e quest'ultima funzione è integrabile (ha esponente e ammette integrale improprio di prima specie), quindi anche la funzione di partenza è integrabile.

 



Sono quindi valide le considerazioni fatte per le serie.

Criterio 2: Sia , integrabile in ogni , per ogni t in , allora se è integrabile in lo è anche .


Inoltre se è verificato il punto precedente vale la condizione:

Integrali impropri di terza specie

Caso 1

Supponiamo di avere una funzione , e finiti. Supponiamo che sia integrabile in ogni intervallo in cui è definita la funzione.


Questa funzione ammette integrale di terza specie se fissato un C entro esiste l'integrale di prima specie tra e di ed esiste anche l'integrale di prima specie tra e .


L'esistenza non dipende dal punto in cui viene fissato C.


Nel caso entrambi esistono si pone:

L'esistenza dell'integrale non dipende dal punto C.


Si lavora separatamente vicino ad A e a B.


Esempio 11.10

Considero la funzione per x compreso tra e . -

Questa funzione non è integrabile in , perché

e

Ma se calcolo:

Nonostante ciò, secondo la definizione non è integrabile.

 

caso 2

Considero . F è integrabile per ogni intervallo con .


In la funzione non è definita.


Esempio 11.11

Considero , essa è integrabile in ogni intervallo e ho un asintoto verticale in .


Fisso un punto c con , considero quello che succede tra a e c e poi quello che succede tra c e .


Se i due integrali esistono si fa la somma e si pone

Se cambia c, la somma non varia.

 


Esempio 11.12

Anche questo integrale non esiste in , poichè esiste in , ma non esiste in .

 

Caso 3

Se è singolare in n punti , posso cercare di definire l'integrale tra a e divido questo intervallo in tanti pezzi. Se sono tutti finiti sommo gli integrali della funzione negli intervalli , , , , e ottengo l'integrale in


Esempio 11.13

Verifichiamo se esiste

Ci sono problemi nei punti , , .


Considero gli asintotici della funzione per , , . Infatti se allora e quindi per il teorema del confronto se è integrabile, anche è integrabile.


Per , , infatti:

da cui

quindi la funzione è integrabile nell'intervallo .


Per , . Infatti

da cui:

ammette integrale di prima specie in

Per , per,

Quindi è integrabile anche nell'intorno di , da cui la funzione è integrabile in .

 

Integrali e serie

Teorema 11.10

Sia in , continua, , monotona decrescente, (ad esempio ). Allora esiste

se e solo se la serie
converge.

 
Dimostrazione

La serie è a termini positivi, la funzione integrale è monotona decrescente.

Consideriamo la funzione

da cui

Quindi si ricava subito che:

è finito se e sole se converge.

 
 Precedente