Integrali impropri

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==Integrale improprio di prima specie per funzioni della forma 1/t^n==
 
==Integrale improprio di prima specie per funzioni della forma 1/t^n==
<math display="block">\int_0^1 \frac{1}{t^{\alpha}} \, dt</math>Queste funzioni non sono definite in <math>x=0</math><math display="block">\int_0^1 \frac{1}{t} \, dt = \lim_{x \to 0+} [\int_x^1 1/(t^{\alpha}) \, dt]=</math>Per <math>\alpha=1</math> ottengo:<math display="block">\int_0^1 \frac{1}{t} \, dt = [\log t]_x^1 = \log 1-\log x=-\log x \rightarrow +\infty \quad x \to 0+</math>Per <math>\alpha \neq 1</math> una primitiva di <math>t^{-\alpha}</math> è<math display="block">[1/(1-\alpha)*t^{1-\alpha}]_x^1=1/(1-\alpha)*[1-x^{1-\alpha}]</math>Se <math>\alpha<1</math> questa quantità converge a <math>1/(1-\alpha)</math> per <math>x \to 0^{+}</math>, se <math>\alpha>1</math> la quantità tende a <math>+\infty</math>.
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<math display="block">\int_0^1 \frac{1}{t^{\alpha}} \, dt</math>Queste funzioni non sono definite in <math>x=0</math><math display="block">\int_0^1 \frac{1}{t} \, dt = \lim_{x \to 0+} [\int_x^1 1/(t^{\alpha}) \, dt]</math>Per <math>\alpha=1</math> ottengo:<math display="block">\int_0^1 \frac{1}{t} \, dt = [\log t]_x^1 = \log 1-\log x=-\log x \rightarrow +\infty \quad x \to 0^+</math>Per <math>\alpha \neq 1</math> una primitiva di <math>t^{-\alpha}</math> è<math display="block">[1/(1-\alpha)*t^{1-\alpha}]_x^1=1/(1-\alpha)*[1-x^{1-\alpha}]</math>Se <math>\alpha<1</math> questa quantità converge a <math>1/(1-\alpha)</math> per <math>x \to 0^{+}</math>, se <math>\alpha>1</math> la quantità tende a <math>+\infty</math>.
  
Analogamente si può definire l'integrale improprio di prima specie per una funzione con una singolarità in <math>x=b</math>, allora si integra negli intervalli <math>[a,x]</math>, con <math>a<x<b</math> poi si calcola il limite per <math>x \to b-</math>.{{InizioEsempio|titolo=|number=11.7|anchor=Esempio11_7}}
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Analogamente si può definire l'integrale improprio di prima specie per una funzione con una singolarità in <math>x=b</math>, allora si integra negli intervalli <math>[a,x]</math>, con <math>a<x<b</math> poi si calcola il limite per <math>x \to b^-</math>.{{InizioEsempio|title=|number=11.7|anchor=Esempio11_7}}
 
<math display="block">f([a,b] \to \mathbb R) = f(x)=\frac{1}{(b-x)^{\alpha}}</math>E' integrabile per <math>\alpha<1</math>.
 
<math display="block">f([a,b] \to \mathbb R) = f(x)=\frac{1}{(b-x)^{\alpha}}</math>E' integrabile per <math>\alpha<1</math>.
 
Se <math>\alpha \ge 1</math> l'integrale diverge.
 
Se <math>\alpha \ge 1</math> l'integrale diverge.
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Vogliamo stabilire se le funzioni <math>\frac{1}{t^{\alpha}}</math> sono integrabili in <math>(1,+\infty)</math><math display="block">\lim_{x \to +\infty} \int_1^x \frac{1}{t^{\alpha}} \, dt</math>Per <math>\alpha=1</math>, ottengo<math display="block">\log x-\log 1=\log x \to +\infty, \hbox{per} \, x \to +\infty</math>Non esiste l'integrale di <math>1/x</math> in <math>[0,+\infty)</math>
 
Vogliamo stabilire se le funzioni <math>\frac{1}{t^{\alpha}}</math> sono integrabili in <math>(1,+\infty)</math><math display="block">\lim_{x \to +\infty} \int_1^x \frac{1}{t^{\alpha}} \, dt</math>Per <math>\alpha=1</math>, ottengo<math display="block">\log x-\log 1=\log x \to +\infty, \hbox{per} \, x \to +\infty</math>Non esiste l'integrale di <math>1/x</math> in <math>[0,+\infty)</math>
  
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Questo risultato vale anche per gli integrali impropri:
 
Questo risultato vale anche per gli integrali impropri:
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''Criterio 1'': Sia <math>f([a,b] \to \mathbb R)</math>, <math>f</math> integrabile in ogni intervallo chiuso <math>[x,b]</math>, con <math>x>a</math>.
 
''Criterio 1'': Sia <math>f([a,b] \to \mathbb R)</math>, <math>f</math> integrabile in ogni intervallo chiuso <math>[x,b]</math>, con <math>x>a</math>.
  
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(se <math>f</math> è maggiorata in valore assoluto da una funzione integrabile, allora è anch'essa integrabile.)
 
(se <math>f</math> è maggiorata in valore assoluto da una funzione integrabile, allora è anch'essa integrabile.)
  
Inoltre, se <math>0 \le |f(t)| \le g(t)</math>, se g è integrabile, lo è anche <math>f</math> e vale <math>\int_a^b f(t) \, dt \le \int_a^b g(t) \, dt</math>.{{InizioEsempio|titolo=|number=11.9|anchor=Esempio11_9}}
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Inoltre, se <math>0 \le |f(t)| \le g(t)</math>, se g è integrabile, lo è anche <math>f</math> e vale <math>\int_a^b f(t) \, dt \le \int_a^b g(t) \, dt</math>.{{InizioEsempio|title=|number=11.9|anchor=Esempio11_9}}
 
In base al criterio, posso concludere che esiste<math display="block">\int_0^1 \frac{\sin (1/t)}{\sqrt{t}} \, dt</math>Infatti in modulo la funzione è minore di <math>\frac{1}{\sqrt{t}}</math> e quest'ultima funzione è integrabile (ha esponente <math><1</math> e ammette integrale improprio di prima specie), quindi anche la funzione di partenza è integrabile.
 
In base al criterio, posso concludere che esiste<math display="block">\int_0^1 \frac{\sin (1/t)}{\sqrt{t}} \, dt</math>Infatti in modulo la funzione è minore di <math>\frac{1}{\sqrt{t}}</math> e quest'ultima funzione è integrabile (ha esponente <math><1</math> e ammette integrale improprio di prima specie), quindi anche la funzione di partenza è integrabile.
 
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Si lavora separatamente vicino ad A e a B.
 
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Considero la funzione <math>f(x)=\tan x</math> per x  compreso tra <math>-\pi/2</math> e <math>\pi/2</math>.
 
Considero la funzione <math>f(x)=\tan x</math> per x  compreso tra <math>-\pi/2</math> e <math>\pi/2</math>.
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Questa funzione non è integrabile in <math>(0,\pi/2)</math>, perché<math display="block">\int_0^x \tan t \, dt = \log |\cos x|-\log |\cos 0|\rightarrow +\infty \hbox { per } x \rightarrow \pi/2</math>e<math display="block">\int_{x}^0 \tan t \, dt = - \int_0^{x} \tan x \, dx= - \infty</math>Ma se calcolo:<math display="block">\int_0^x \tan t \, dt+\int_{-x}^0 \tan  t \, dt =\int_{-x}^{x} \tan t \, dt=0 \hbox{  perché la funzione è dispari}</math>Nonostante ciò, secondo la definizione <math>f</math> non è integrabile.
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Questa funzione non è integrabile in <math>(0,\pi/2)</math>, perché<math display="block">\int_0^x \tan t \, dt = \log |\cos x|-\log |\cos 0|\rightarrow +\infty \hbox { per } x \rightarrow \pi/2</math>e<math display="block">\int_{x}^0 \tan t \, dt = - \int_0^{x} \tan x \, dx= - \infty</math>Ma se calcolo:<math display="block">\int_0^x \tan t \, dt+\int_{-x}^0 \tan  t \, dt =\int_{-x}^{x} \tan t \, dt=0 \hbox{  perche' la funzione è dispari} </math>Nonostante ciò, secondo la definizione <math>f</math> non è integrabile.
 
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===caso 2===
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===Caso 2===
 
Considero <math>f((a,+\infty) \to \mathbb R)</math>. F è integrabile per ogni intervallo <math>(x_1, x_2)</math> con <math>a<x_1<x_2<+\infty</math>.
 
Considero <math>f((a,+\infty) \to \mathbb R)</math>. F è integrabile per ogni intervallo <math>(x_1, x_2)</math> con <math>a<x_1<x_2<+\infty</math>.
In <math>a</math> la funzione non è definita.{{InizioEsempio|titolo=|number=11.11|anchor=Esempio11_11}}
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In <math>a</math> la funzione non è definita.{{InizioEsempio|title=|number=11.11|anchor=Esempio11_11}}
 
Considero <math>f(x)=1/x</math>, essa è integrabile in ogni intervallo <math>(x_1, x_2)</math> e ho un asintoto verticale in <math>x=0</math>.
 
Considero <math>f(x)=1/x</math>, essa è integrabile in ogni intervallo <math>(x_1, x_2)</math> e ho un asintoto verticale in <math>x=0</math>.
  
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<math display="block">\int_0^{+\infty} 1/x^2 \, dx</math>Anche questo integrale non esiste in <math>(0,+\infty)</math>, poichè esiste in <math>[1,+\infty)</math>, ma non esiste in <math>[0,1]</math>.
 
<math display="block">\int_0^{+\infty} 1/x^2 \, dx</math>Anche questo integrale non esiste in <math>(0,+\infty)</math>, poichè esiste in <math>[1,+\infty)</math>, ma non esiste in <math>[0,1]</math>.
 
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===Caso 3===
 
===Caso 3===
 
Se <math>f:(a,+\infty) \to \mathbb R</math> è singolare in n punti <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math>, posso cercare di definire l'integrale tra a e <math>+\infty</math> divido questo intervallo in tanti pezzi.
 
Se <math>f:(a,+\infty) \to \mathbb R</math> è singolare in n punti <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math>, posso cercare di definire l'integrale tra a e <math>+\infty</math> divido questo intervallo in tanti pezzi.
Se sono tutti finiti sommo gli integrali della funzione negli intervalli <math>(a,x_1]</math>, <math>[x_1,x_2]</math>, <math>[x_2,x_3]</math>, <math>[x_3,x_n]</math>, <math>[x_n,+\infty)</math> e ottengo l'integrale in <math>(a,+\infty)</math>{{InizioEsempio|titolo=|number=11.13|anchor=Esempio11_13}}
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Se sono tutti finiti sommo gli integrali della funzione negli intervalli <math>(a,x_1]</math>, <math>[x_1,x_2]</math>, <math>[x_2,x_3]</math>, <math>[x_3,x_n]</math>, <math>[x_n,+\infty)</math> e ottengo l'integrale in <math>(a,+\infty)</math>{{InizioEsempio|title=|number=11.13|anchor=Esempio11_13}}
 
Verifichiamo se esiste<math display="block">\int \frac{|\arctan (x-1)|^{1/2}*\sin x}{\sqrt[3]{x^2}*\log x}</math>Ci sono problemi nei punti <math>x=0</math>, <math>x=1</math>, <math>x=+\infty</math>.<br>
 
Verifichiamo se esiste<math display="block">\int \frac{|\arctan (x-1)|^{1/2}*\sin x}{\sqrt[3]{x^2}*\log x}</math>Ci sono problemi nei punti <math>x=0</math>, <math>x=1</math>, <math>x=+\infty</math>.<br>
 
Considero gli asintotici della funzione per <math>x \to 1</math>, <math>x \to 0</math>, <math>x \to +\infty</math>. Infatti se <math>f(x) \sim g(x)</math> allora <math>1/2*f(x) \leq g(x) \leq 2f(x)</math> e quindi per il teorema del confronto se <math>f(x)</math> è integrabile, anche <math>g(x)</math> è integrabile.
 
Considero gli asintotici della funzione per <math>x \to 1</math>, <math>x \to 0</math>, <math>x \to +\infty</math>. Infatti se <math>f(x) \sim g(x)</math> allora <math>1/2*f(x) \leq g(x) \leq 2f(x)</math> e quindi per il teorema del confronto se <math>f(x)</math> è integrabile, anche <math>g(x)</math> è integrabile.
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==Integrali e serie==
 
==Integrali e serie==
{{InizioTeorema|titolo=|number=11.10|anchor=Teorema11_10}}
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{{InizioTeorema|title=|number=11.10|anchor=Teorema11_10}}
 
Sia <math>f</math> in <math>(1,+\infty)</math>, <math>f</math> continua, <math>f \ge 0</math>, <math>f</math> monotona decrescente, (ad esempio <math>f=1/x</math>).
 
Sia <math>f</math> in <math>(1,+\infty)</math>, <math>f</math> continua, <math>f \ge 0</math>, <math>f</math> monotona decrescente, (ad esempio <math>f=1/x</math>).
 
Allora esiste<math display="block">\int_1^{+\infty} f(x) \, dx</math>se e solo se la serie<math display="block">\sum_{n=1}^{+\infty} f_n (x)</math>converge.
 
Allora esiste<math display="block">\int_1^{+\infty} f(x) \, dx</math>se e solo se la serie<math display="block">\sum_{n=1}^{+\infty} f_n (x)</math>converge.

Versione attuale delle 14:06, 21 mag 2018

L'integrale di Riemann è definito per funzioni limitate e definite in un intervallo chiuso e limitato .

Con il concetto di integrale improprio vogliamo dare un significato all'integrale di una funzione su un intervallo , anche quando la funzione non è limitata nell'intorno di o di , oppure quando gli estremi dell'intervallo sono o .

Integrali impropri di prima specie[modifica | modifica wikitesto]

Sia una funzione definita in .

La funzione sia integrabile in ogni intervallo con , quindi si può calcolare

con compreso tra e . è la funzione integrale.

La funzione ammette integrale improprio in se esiste

Il limite potrebbe non esistere o essere infinito: in questi casi non si può definire l'integrale di neanche mediante l'integrale improprio.
Se la funzione fosse limitata, il limite sarebbe l'integrale, perché la funzione sarebbe integrabile in tutto . Se la funzione è positiva e integrabile, l'area del sottografico che è una figura illimitata è un numero finito!
Se esiste finito, il limite si indica con

Integrale improprio di prima specie per funzioni della forma 1/t^n[modifica | modifica wikitesto]

Queste funzioni non sono definite in
Per ottengo:
Per una primitiva di è
Se questa quantità converge a per , se la quantità tende a .

Analogamente si può definire l'integrale improprio di prima specie per una funzione con una singolarità in , allora si integra negli intervalli , con poi si calcola il limite per .
Esempio 11.7

E' integrabile per . Se l'integrale diverge.

 

Integrali impropri di seconda specie[modifica | modifica wikitesto]

Sia la funzione . è integrabile in ogni intervallo chiuso , con . Allora si considera:

Se il limite è finito, lo si pone .

Se il limite non esiste la funzione non è integrabile in .


Esempio 11.8

Vogliamo stabilire se le funzioni sono integrabili in

Per , ottengo
Non esiste l'integrale di in

Altrimenti la primitiva è

Se il limite va a e l'integrale improprio non esiste, mentre se la quantità tende a (stesso comportamento delle serie).

 

Funzioni illimitate possono avere un'area finita su . Per esempio considero una funzione:

è non limitata ma integrabile.

Criteri per le funzioni ricavati dalla condizione di Cauchy[modifica | modifica wikitesto]

Dal criterio di Cauchy per le serie si ricava che se una serie converge assolutamente allora converge anche in senso ordinario e quindi per il criterio del confronto se una serie in modulo è minorante di una serie convergente, allora converge.

Questo risultato vale anche per gli integrali impropri:

Criterio 1: Sia , integrabile in ogni intervallo chiuso , con .

Se e , allora, se è integrabile in anche lo è. (se è maggiorata in valore assoluto da una funzione integrabile, allora è anch'essa integrabile.)

Inoltre, se , se g è integrabile, lo è anche e vale .
Esempio 11.9

In base al criterio, posso concludere che esiste

Infatti in modulo la funzione è minore di e quest'ultima funzione è integrabile (ha esponente e ammette integrale improprio di prima specie), quindi anche la funzione di partenza è integrabile.

 

Sono quindi valide le considerazioni fatte per le serie.

Criterio 2: Sia , integrabile in ogni , per ogni t in , allora se è integrabile in lo è anche .

Inoltre se è verificato il punto precedente vale la condizione:

Integrali impropri di terza specie[modifica | modifica wikitesto]

Caso 1[modifica | modifica wikitesto]

Supponiamo di avere una funzione , e finiti. Supponiamo che sia integrabile in ogni intervallo in cui è definita la funzione.

Questa funzione ammette integrale di terza specie se fissato un C entro esiste l'integrale di prima specie tra e di ed esiste anche l'integrale di prima specie tra e .

L'esistenza non dipende dal punto in cui viene fissato C. Nel caso entrambi esistono si pone:

L'esistenza dell'integrale non dipende dal punto C.
Si lavora separatamente vicino ad A e a B.

Esempio 11.10

Considero la funzione per x compreso tra e .


Questa funzione non è integrabile in , perché

e
Ma se calcolo:
Nonostante ciò, secondo la definizione non è integrabile.

 

Caso 2[modifica | modifica wikitesto]

Considero . F è integrabile per ogni intervallo con .

In la funzione non è definita.
Esempio 11.11

Considero , essa è integrabile in ogni intervallo e ho un asintoto verticale in .

Fisso un punto c con , considero quello che succede tra a e c e poi quello che succede tra c e . Se i due integrali esistono si fa la somma e si pone

Se cambia c, la somma non varia.

 


Esempio 11.12

Anche questo integrale non esiste in , poichè esiste in , ma non esiste in .

 

Caso 3[modifica | modifica wikitesto]

Se è singolare in n punti , posso cercare di definire l'integrale tra a e divido questo intervallo in tanti pezzi.

Se sono tutti finiti sommo gli integrali della funzione negli intervalli , , , , e ottengo l'integrale in
Esempio 11.13

Verifichiamo se esiste

Ci sono problemi nei punti , , .
Considero gli asintotici della funzione per , , . Infatti se allora e quindi per il teorema del confronto se è integrabile, anche è integrabile.

Per , , infatti:

da cui
quindi la funzione è integrabile nell'intervallo .
Per , . Infatti
da cui:
ammette integrale di prima specie in .

Per , per,

Quindi è integrabile anche nell'intorno di , da cui la funzione è integrabile in .

 

Integrali e serie[modifica | modifica wikitesto]

Teorema 11.10

Sia in , continua, , monotona decrescente, (ad esempio ). Allora esiste

se e solo se la serie
converge.

 
Dimostrazione

La serie è a termini positivi, la funzione integrale è monotona decrescente.

Consideriamo la funzione
da cui
Quindi si ricava subito che:
è finito se e sole se converge.

 
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